Som emne-et sier lurer jeg på hvordan jeg kan finne det største intervallet I som inneholder 0, slik at funksjonen f(x) = 2e^(-2x) - e^(-x)+1 har en invers funksjon.
Tenkte først å ta f(x) = 0 for å finne ut hva x er da y = 0, og fikk at x = ln(2), men usikker hva jeg skal gjøre med det, og hvordan jeg skal gå videre.
Største intervallet I, som inneholder 0, slik at f har en invers funksjon.
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Mattebruker
- Weierstrass
- Innlegg: 474
- Registrert: 26/02-2021 21:28
Funksjonen f er kontinuerleg og deriverbar for alle x [tex]\in[/tex] R ( alle reelle tal ).
Tips: Funksjonen f har ein invers funksjon f[tex]^{-1}[/tex] i intervallet I dersom f er monotont veksande eller monotont minkande i heile I.
Tips: Funksjonen f har ein invers funksjon f[tex]^{-1}[/tex] i intervallet I dersom f er monotont veksande eller monotont minkande i heile I.
For at en funksjon skal ha en invers, må funksjonen være strengt voksende eller strengt avtagende på intervallet der den inversen er definert.
For å avgjøre dette, kan vi se på den deriverte av f(x)f(x). Dersom f′(x)>0f′(x)>0 på intervallet, vil funksjonen være strengt voksende. Hvis f′(x)<0f′(x)<0 på intervallet, vil funksjonen være strengt avtagende.
Først, finn den deriverte:
f(x)=2e−2x−e−x+1f(x)=2e−2x−e−x+1
f′(x)=−4e−2x+e−xf′(x)=−4e−2x+e−x
Nå, sett f′(x)=0f′(x)=0 for å finne eventuelle vendepunkter:
−4e−2x+e−x=0−4e−2x+e−x=0
For å løse denne ligningen kan du multiplisere med e2xe2x:
−4+ex=0−4+ex=0
Deretter får du:
ex=4ex=4
Som gir:
x=ln(4)x=ln(4)
Dette betyr at funksjonen endrer stigningstall ved x=ln(4)x=ln(4). Men siden du ønsker å finne det største intervallet som inneholder 0, trenger du å bestemme tegnet av f′(x)f′(x) for x-verdier på begge sider av ln(4)ln(4).
For x<ln(4)x<ln(4), f′(x)>0f′(x)>0, så funksjonen er økende.
For x>ln(4)x>ln(4), f′(x)<0f′(x)<0, så funksjonen er avtagende.
Dermed, for å sørge for at funksjonen enten er strengt voksende eller avtagende over hele intervallet som inneholder 0, bør du velge intervallet fra −∞−∞ til ln(4)ln(4). Dette vil være det største intervallet der f(x)f(x) har en invers funksjon.
For å avgjøre dette, kan vi se på den deriverte av f(x)f(x). Dersom f′(x)>0f′(x)>0 på intervallet, vil funksjonen være strengt voksende. Hvis f′(x)<0f′(x)<0 på intervallet, vil funksjonen være strengt avtagende.
Først, finn den deriverte:
f(x)=2e−2x−e−x+1f(x)=2e−2x−e−x+1
f′(x)=−4e−2x+e−xf′(x)=−4e−2x+e−x
Nå, sett f′(x)=0f′(x)=0 for å finne eventuelle vendepunkter:
−4e−2x+e−x=0−4e−2x+e−x=0
For å løse denne ligningen kan du multiplisere med e2xe2x:
−4+ex=0−4+ex=0
Deretter får du:
ex=4ex=4
Som gir:
x=ln(4)x=ln(4)
Dette betyr at funksjonen endrer stigningstall ved x=ln(4)x=ln(4). Men siden du ønsker å finne det største intervallet som inneholder 0, trenger du å bestemme tegnet av f′(x)f′(x) for x-verdier på begge sider av ln(4)ln(4).
For x<ln(4)x<ln(4), f′(x)>0f′(x)>0, så funksjonen er økende.
For x>ln(4)x>ln(4), f′(x)<0f′(x)<0, så funksjonen er avtagende.
Dermed, for å sørge for at funksjonen enten er strengt voksende eller avtagende over hele intervallet som inneholder 0, bør du velge intervallet fra −∞−∞ til ln(4)ln(4). Dette vil være det største intervallet der f(x)f(x) har en invers funksjon.