matematikk.net

Finn, om mulig, en heltallsløsning av 157x+124y=1000
.

- Svaret fylles inn enten som en liste slik [x,y]
, eller 0 hvis det ikke finnes svar...

svaret er dermed [-120,160]... men dette blir feil, sier pcen.

157 * (-120) + 124 * (160) = 1000 !

eller har jeg gjort feil...?

For å finne en heltallsløsning til den lineære diofantiske ligningen 157x+124y=1000157x+124y=1000, kan man bruke Euklids utvidede algoritme. Men en enklere metode for å finne en spesifikk løsning (ikke alle løsninger) er ved prøving og feiling.

En metode er å prøve å isolere y:
157x+124y=1000

La oss anta at x=0x=0 for å se hva yy ville være:
124y=1000
y=1000/124=8,0645...
y=124/1000​=8,0645...

Siden 8,0645 ikke er et helt tall, øker vi xx til 1:
157(1)+124y=1000
124y=843
y=843/124=6,798...
y=124/843​=6,798...

Fortsetter med x=2x=2:
157(2)+124y=1000
124y=686
y=686/124=5,532...
y=124/686​=5,532...

Fortsetter med x=3x=3:
157(3)+124y=1000
124y=529
y=529/124=4,266...
y=124/529​=4,266...

Fortsetter med x=4x=4:
157(4)+124y=1000
124y=372
y=372/124=3
y=124/372​=3

Da har vi en heltallsløsning: x=4x=4 og y=3y=3.

Dermed er svaret: [4,3].

Hvis den diofantiske likningen $157x + 124y = 1000$ har én (heltalls)løsning, har den uendelig mange slike løsninger. Løsningen $[4,3]$ ligger på den rette linjen

$ x = 4 +124n,
y = 3 - 157n, n \in \ integers $, for $ n = 0, $

Løsningen$ [-120, 160] $ ligger på den samme rette linjen for $\, n = -1$.

svaret [4,3] er feil i følge oppgaven.

Hvis oppgaveteksten ikke legger andre begrensninger på heltallparet [x,y] enn at paret skal passe inn i (den diofantiske) likningen
157x + 124 y = 1000, vil alle slike par være løsninger av oppgaven. Det er ikke slik at et spesielt tallpar passer bedre inn i likningen enn andre løsningspar og dermed er "den egentlige" løsningen.