Vise at f(x) er deriverbar i x = 0

[solrik1]

Hei,

Jeg har en funksjon med delt funksjonsuttrykk:

f(x) =
arcsinx / x for ≠ 0
1 for x = 0

Skal vise at f er deriverbar i x = 0 og finne f'(0).

Hvordan går jeg frem? Jeg forsøkte å finne grenseverdien lim x -> 0 for f'(x) ovenifra og nedenifra, og slik vise at disse grenseverdiene er like, men på uttrykket lim x -> 0 f'(x) endte jeg opp med 1/0 = uendelig, og ikke 0, etter å ha brukt L'Hopital to ganger.

Vet at:
f'(x) = (x / sqrt(1 - x^2) - arcsin(x)) / x^2

Kan noen hjelpe meg?

[jos]

Vi deriverer teller og nevner i $ f´(x)= \frac{x - arcsin (x)\sqrt{1 - x^2}}{x^2\sqrt{1 - x^2}}:$

$(x - arcsin(x)\sqrt{1 - x^2})´ = \frac{x \cdot arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}},\,\, (x^2\sqrt{1 - x^2})´= \frac{x - 2x^3}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\frac{\frac{x \cdot arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}}}{\frac{x - 2x^3}{\sqrt{1 - x^2}}} = \frac{arcsin (x)}{1 - 2x^2}$

$\lim_{x\to 0}\frac{arcsin (x)}{1 - 2x^2} = 0$

Den deriverte av f(x) går altså mot null når x går mot null, som viser at f(x) er deriverbar siden siden den deriverte av f(x) = 0 for x = 0, da f(0) = 1, og f´(0) = 0.

[solrik1]

Jeg har 4 spørsmål til svaret ditt, håper du kan svare:

1. Så, er det riktig at poenget er at vi må vise at den øvre grensen for den deriverte er lik den nedre grensen for den deriverte, som vi vet er 0?

2. Blir ikke den deriverte av nevneren (2x - 4x^3) / sqrt(1 - x^2), og ikke (x - 2x^3) / sqrt(1 - x^2)? Det leder mot samme svar altså, men jeg forstår ikke hvordan du kun har forkortet telleren.

3. Er det en grunn til at du omorganiserte uttrykket for f'(x)? Jeg prøvde nemlig å finne lim x -> 0 for f'(x) når jeg brukte uttrykket 1 / x*sqrt(1 - x^2) - arcsin(x)/x^2, men selv etter å ha brukt L'Hopital fikk jeg 0/0-uttrykk, og da var hele brøken så rotete at det virket håpløst å begi seg ut på L'Hôpital enda en gang.

4. Hvis jeg regner ut følgende:
f'(0) = lim x -> 0 for f(x) - f(0) / x - 0, er dette også et bevis på at f er deriverbar i x = 0, eller er dette bare utregning av f'(0)?

[jos]

1. Vi må vise at f´(x) går mot 0 når x nærmer seg 0 siden f´(0) = 0 da f(x) er definert som konstanten 1 når x = 0. (Det er ikke snakk om øvre eller nedre grense, men hva som skjer når x nærmer seg grensen 0 ovenfra eller nedenfra).
2. Det er lett å snuble i svingene når kvadratrøtter skal deriveres, spesielt lett å f.eks. å glemme å derivere kjernen. $(\sqrt{1 - x^2}\,)´= \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$ Jeg har sjekket på nytt og fått det samme svaret.
3. Jeg har ikke omorganisert f´(x). Jeg konstaterer at det er et såkalt "0/0"-uttrykk, dvs. at både teller og nevner går mot 0 når x går mot en gitt grense, her = 0. Siden f´(x) er et "0/0"-uttrykk, kan L´Hopitals metode anvendes. Den metoden sier at "0/0"-uttrykket går mot samme grense som den deriverte av teller over den deriverte av nevner eventuelt går mot når x går mot den gitte grensen, her = 0. Så oppgaven er å derivere teller og nevner hver for seg og se om teller´over nevner´ går mot en grense når x går mot null. Og som du ser: $ \frac{teller´}{nevner´} = \frac{arcsin(x)}{1 - 2x^2}$ som går mot 0 når x går mot 0.
4. Her setter du opp en definisjon av den deriverte av f(x) i x = 0. Den deriverte er jo grensen til dette uttrykket når x går mot null. Men spørsmålet er jo om denne grensen eksisterer, og det er beviset for denne ekstensen som L´Hopital hjelper oss med.

[solrik1]

Takk. Kunne du hjulpet meg med denne oppfølgingsoppgaven også?

Vis at for 0 < x < 1, er x/sqrt(1 - x^2) > arcsin(x), men at for -1 < x 0 er x/sqrt(1 - x^2) < arcsin(x).

Kan jeg bruke middelverdisetningen på f(x) = arcsin(x) på intervallet [0, x], slik at jeg får
(arcsin(x) - arcsin(0)) / x - 0 = f'(c) = 1 / sqrt(1 - c^2)

Og så utlede det videre derfra?

[Solar Plexsus]

Ved å gjøre substitusjonen $x = \sin z$ med ${\textstyle 0 < |z| < \frac{\pi}{2}}$ blir $0 < |\sin z|,\: \cos z < 1$ og

${\textstyle f(z) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \arcsin(x) = \frac{\sin z}{\sqrt{1 - \sin^2 z}} - \arcsin(\sin z) = \frac{\sin z}{\sqrt{\cos^2 z}} - z = \frac{\sin z}{\cos z} - z = \tan z - z}$,

som medfører at

${\textstyle f’(z) = \frac{1}{\cos^2 z} - 1 > 0}$,

hvilket gir (siden $f(0)=0$)

$f(z) < 0$ når $-1 < z < 0$

og

$f(z) > 0$ når $0 < z < 1$. Q.E.D.

[jos]

Litt sent ute med svar til solrik1 , et svar som er noe beslektet med solar plexus sitt kontante innlegg.

($\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}})´ = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \frac{1}{1 - x^2} = arcsin(x)´\frac{1}{1 -x^2}$

Vi ser at $(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}})´$ er positiv og større enn arcsin(x)´ for -1 < x <0, og 0 < x < 1, og at

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = arcsin(x) = 0$ for x = 0.

Da må $\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} $ være større enn arcsin(x) i <0,1> og mindre enn arcsin(x) i <0, -1>.