Lineær algebra

[Gjest]

The subspace of R3 spanned by the vectors u1 = (0.8, 0, -0,6) and u2 = (0,1,0) is a plane passing through the origin. Express w = (1, 2, 3) in the form w = w1 + w2, where w1 lies in the plane and w2 is perpendicular to the plane.

[Matteliten]

Ingen som kan hjelpe meg med denne??

[Andrina]

Joda :)

La U være underrommet som er spent ut av u1 og u2.
Så skal vi finne en vektor v=(v1,v2,v3) som er ortogonalt til u1 og u2.

Det betyr at skalarproduktet av v med u1 er 0 og skalarproduktet av v med u2 er lik 0.

Det betyr at 0,8v1-0,6v3=0,
v2=0

Vi får at v1=3/4v3 og v2=0

Så underrommet W som er ortogonalt til U er generert ax v=(3/4,0,1).

Nå skal vi finne w1 i U og w2 i W med w=w1+w2.

Løser systemet xu1+yu2+zv=w

I matriseform:

0,8 0 3/4 1
0 1 0 2
-0,6 0 1 3


Vi bringer matrisen på trappeform:

0,8 0 3/4 1
0 1 0 2
0 0 5/4 3

5/4z=3
z=12/5

y=2

8/10x=1-(3/4)*z=1-9/5=-4/5

x=-1

Dermed w=-u1+2u2+12/5v

Nå ligger -u1+2u2 i U og 12/5v i W.

Så w1=-u1+2u2=(-0,8,2,0,6)
w2=12/5v=(9/5,0,12/5)

(Du kan sjekke at w=w1+w2)