Jeg lurer på en oppgave med et integral begrenset av noe i rommet, det er som følger:
[tex]\int_{R}\int\int (xy+z^2) dV, R:0 \leq z \leq 1 - \mid x \mid - \mid y\mid[/tex]
Integral i rommet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Cayley
- Innlegg: 96
- Registrert: 23/01-2006 23:03
- Sted: Oslo
Mitt forslag blir slik
[tex] \int\int\int_R (xy+z^2)\mathrm{d}V=\int_0^1\int_{z-1}^{1 -z}\int^{1-|x|-z}_{z+|x|-1}(xy+z^2) \mathrm{d}y\mathrm{d}x\mathrm{d}z =\int_0^1\int_{z-1}^{1 -z}\int^{1-|x|-z}_{z+|x|-1}z^2 \mathrm{d}y\mathrm{d}x\mathrm{d}z [/tex]
[tex]=\int_0^1\int_{z-1}^{1-z}z^2(2-2|x|-2z) \mathrm{d}x\mathrm{d}z=\int_0^1\left(\int_0^{1-z}z^2(2-2x-2z) \mathrm{d}x + \int_{z-1}^0 z^2(2+2x-2z)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z [/tex]
[tex]= \int_0^1 \left(\left[z^2(2x-x^2-2zx\right]_0^{1-z}+\left[z^2(2x+x^2-2zx\right]^0_{z-1}\right)\mathrm{d}z [/tex]
[tex]= \int_0^1 z^2\left(2(1-z)-(1-z)^2-2z(1-z)-2(z-1)-(z-1)^2+2z(z-1)\right) \mathrm{d}z[/tex]
[tex] =\int_0^1 z^2(2-2z-1+2z-z^2-2z+2z^2-2z+2-z^2+2z-1+2z^2-2z) \mathrm{d}z[/tex]
[tex]=\int_0^1 z^2(2-4z+2z^2)\mathrm{d}z[/tex]
[tex]=\left[\frac{2}{3}z^3-z^4+\frac{2}{5}z^5\right]_0^1=\underline{\underline{\frac{1}{15}}}[/tex]
[tex] \int\int\int_R (xy+z^2)\mathrm{d}V=\int_0^1\int_{z-1}^{1 -z}\int^{1-|x|-z}_{z+|x|-1}(xy+z^2) \mathrm{d}y\mathrm{d}x\mathrm{d}z =\int_0^1\int_{z-1}^{1 -z}\int^{1-|x|-z}_{z+|x|-1}z^2 \mathrm{d}y\mathrm{d}x\mathrm{d}z [/tex]
[tex]=\int_0^1\int_{z-1}^{1-z}z^2(2-2|x|-2z) \mathrm{d}x\mathrm{d}z=\int_0^1\left(\int_0^{1-z}z^2(2-2x-2z) \mathrm{d}x + \int_{z-1}^0 z^2(2+2x-2z)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z [/tex]
[tex]= \int_0^1 \left(\left[z^2(2x-x^2-2zx\right]_0^{1-z}+\left[z^2(2x+x^2-2zx\right]^0_{z-1}\right)\mathrm{d}z [/tex]
[tex]= \int_0^1 z^2\left(2(1-z)-(1-z)^2-2z(1-z)-2(z-1)-(z-1)^2+2z(z-1)\right) \mathrm{d}z[/tex]
[tex] =\int_0^1 z^2(2-2z-1+2z-z^2-2z+2z^2-2z+2-z^2+2z-1+2z^2-2z) \mathrm{d}z[/tex]
[tex]=\int_0^1 z^2(2-4z+2z^2)\mathrm{d}z[/tex]
[tex]=\left[\frac{2}{3}z^3-z^4+\frac{2}{5}z^5\right]_0^1=\underline{\underline{\frac{1}{15}}}[/tex]
Det var et flott forslag, og svaret var jo klart rett. Takk skal du har for den, finfin ført også!
Ikke jeg som la inn oppgaven men, er det ikke en annen måte å løse den på? Jeg prøver på den nå, og utregningen blir jo ganske stygg synes jeg.