Integral i rommet

[Gjest]

Jeg lurer på en oppgave med et integral begrenset av noe i rommet, det er som følger:

[tex]\int_{R}\int\int (xy+z^2) dV, R:0 \leq z \leq 1 - \mid x \mid - \mid y\mid[/tex]

[Heisenberg]

Mitt forslag blir slik

[tex] \int\int\int_R (xy+z^2)\mathrm{d}V=\int_0^1\int_{z-1}^{1 -z}\int^{1-|x|-z}_{z+|x|-1}(xy+z^2) \mathrm{d}y\mathrm{d}x\mathrm{d}z =\int_0^1\int_{z-1}^{1 -z}\int^{1-|x|-z}_{z+|x|-1}z^2 \mathrm{d}y\mathrm{d}x\mathrm{d}z [/tex]
[tex]=\int_0^1\int_{z-1}^{1-z}z^2(2-2|x|-2z) \mathrm{d}x\mathrm{d}z=\int_0^1\left(\int_0^{1-z}z^2(2-2x-2z) \mathrm{d}x + \int_{z-1}^0 z^2(2+2x-2z)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z [/tex]
[tex]= \int_0^1 \left(\left[z^2(2x-x^2-2zx\right]_0^{1-z}+\left[z^2(2x+x^2-2zx\right]^0_{z-1}\right)\mathrm{d}z [/tex]
[tex]= \int_0^1 z^2\left(2(1-z)-(1-z)^2-2z(1-z)-2(z-1)-(z-1)^2+2z(z-1)\right) \mathrm{d}z[/tex]
[tex] =\int_0^1 z^2(2-2z-1+2z-z^2-2z+2z^2-2z+2-z^2+2z-1+2z^2-2z) \mathrm{d}z[/tex]
[tex]=\int_0^1 z^2(2-4z+2z^2)\mathrm{d}z[/tex]
[tex]=\left[\frac{2}{3}z^3-z^4+\frac{2}{5}z^5\right]_0^1=\underline{\underline{\frac{1}{15}}}[/tex]

[Gjest]

Det var et flott forslag, og svaret var jo klart rett. Takk skal du har for den, finfin ført også!

[Gjest]

Ikke jeg som la inn oppgaven men, er det ikke en annen måte å løse den på? Jeg prøver på den nå, og utregningen blir jo ganske stygg synes jeg.