Volum i kjegle med kule i

[Gjest]

Find the volume indicated regions.
Inside the cone z= [symbol:rot](x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]) and inside the sphere x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup].

Her har jeg absolutt ikke peiling på hvordan jeg skal angripe det, lukter trippelintegral.

[Solar Plexsus]

Ved å innføre kulekoordinater, dvs. x = r*sinu*cosv, y = r*sinu*sinv og z = r*cosu, får vi at

(r*cosu) = z = kv.rot(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) = kv.rot( (r*sinu)[sup]2[/sup](cos[sup]2[/sup]v + sin[sup]2[/sup]v) ) = kv.rot((r*sinu)[sup]2[/sup]) = r*│sinv│,

som gir

(1)│sinu│= cosu.

Kvadrerer vi begge sidene i likning (1), får vi at sin[sup]2[/sup]u = cos[sup]2[/sup]u. M.a.o. blir (sinu/cosu)[sup]2[/sup] = tan[sup]2[/sup]u = 1, så tanu = [symbol:plussminus] 1. Ergo blir u = [symbol:pi]/4 eller u = 5[symbol:pi] /4. Sist nevnte løsning gir imidlertid cosu < 0, noe som ikke stemmer overens med (1). M.a.o. er eneste løsning u = [symbol:pi] /4.
Videre blir

a[sup]2[/sup] = x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup],

dvs. at r = a. Dermed er området som ligger innenfor den rette kjeglen z = kv.rot(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) og kula x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + z[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup] gitt ved ulikhetene

0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ u ≤ [symbol:pi]/4, 0 ≤ v ≤ 2[symbol:pi].

Følgelig er volumet av dette begrensede området gitt ved trippelintegralet

[tex]\int_0^{\:2\pi}\; \int_0^{\:\,\pi/4} \; \int_0^{\:a} r^2*sinu \; dr \:du \: dv.[/tex]

[Gjest]

Takk.
Nå har jeg en annen jeg er sjanseløs på, volumet mellom parabolidene z=10-x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup] og z = 2(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]-1).
Vet ikke hvordan jeg skal starte, siden det er x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup] i den ene er det mulig et tegn på at sylinderkoordinater vil være smart. På ett eller annet vis må jeg finne hvor de skjærer hverandre, men hva skal de grensene være godt for? Jeg har vanskeligheter med å forstille meg hvordan disse to skjærer hverandre, får ikke til å plotte de i Maple, da jeg ikke kan Maple. Det er bare så utrolig irriterende å ikke ane hvordan jeg skal starte og hvordan tankegangen er.

[Solar Plexsus]

Du har rett i at sylinderkoordinater er smart å ta i bruk her. Ved å la x=r*cosu og y=r*sinu får du at de to paraboloidene er gitt ved likningene

(1) z = 10 - r[sup]2[/sup],

(2) z = 2r[sup]2[/sup] - 2.

Tegner du grafen til disse to funksjonene i et kartesisk koordinatsystem med r på den horisontale aksen og z på den vertikale aksen, ser du at grafene skjærer i punktene (-2,6) og (2,6). Herav følger at området begrenset av de to paraboloidene (1) og (2) er gitt ved ulikhetene

2r[sup]2[/sup] - 2 ≤ z ≤ 10 - r[sup]2[/sup], 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ u ≤ 2[symbol:pi].

Dermed blir volumet at dette området

[tex]\int_0^{2\pi} \; \int_0^2 \; \int_{2r^2-2}^{10-r^2} r \: dz \, dr \, du [/tex]

[Gjest]

Takk. Men hadde jeg egentlig ikke bruk for skjæringspunktene i denne oppgaven, bare radien r? Snodig.

Holder på med en liknende nå, volumet over xy-planet, inni kjegla gitt ved z = 2a - [symbol:rot](x[sup]2[/sup] +y[sup]2[/sup]) og inni sylinderen x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 2ay.

Innførte nok en gang sylinderkoordinater: z= 2a -r og r = 2a*sinv.

Prøver å forestille meg hvordan det ser ut, kjegla står "rett vei", opp langs z-aksen, men hvordan er den sylinderen lagt?

Nok en gang takk for hjelpen.

[Solar Plexsus]

Likningen for sylinderen er x[sup]2[/sup] + (y - a)[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup]. Projeksjonen av den rette kjegla z = 2a - kv.rot(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) til xy-planet er sirkelen x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = (2a)[sup]2[/sup]. Tegner du disse to sirklene i xy-planet, får du et bilde av hvordan disse to romlegemene ligger i forhold til hverandre. Legg merke til at sylinderen har linjen x=0, y=a, z=t som symmetriakse mens den rette kjegla har z-aksen som symmetriakse med toppunkt i z=2a.

Ved å innføre sylinderkoordinater som du har gjort, får vi at området over xy-planet begrenset av nevnte kjegle og sylinder er gitt ved ulikhetene

0 ≤ z ≤ 2a - r, 0 ≤ r ≤ 2a*sinv, 0 ≤ v ≤ [symbol:pi].

Herav følger at volumet av dette området er gitt ved trippelintegralet

[tex]\int_0^{\pi} \; \int_0^{2a*sinv} \; \int_0^{2a-r} r \; dz \: dr \: dv.[/tex]

[Gjest]

Er med på alt, men ikke hvordan du kommer frem til at grensene for dv blir 0 til [symbol:pi].

[Solar Plexsus]

Vi har at 0 ≤ r ≤ 2a*sinv. Altså må 2a*sinv ≥ 0, som igjen betyr at sinv ≥ 0 ettersom a > 0. Dermed får vi at 0 ≤ v ≤ [symbol:pi].