Bevis, egenverdier

[Jerry]

Bevis at hvis A er en nxn triangulær matrise (øvre, nedre eller diagonal), da er egenverdiene til A elementene på hoveddiagonalen.

[Solar Plexsus]

Anta at A=[a[sub]ij[/sub]] er en triangulær nxn-matrise. Da er egenverdiene til A løsningene av den karakteristiske (n'te-grads)likningen det(B) = 0, der B = [b[sub]ij[/sub]] = λI[sub]n[/sub] - A. Matrisa B er også triangulær med b[sub]ii[/sub] = λ - a[sub]ii[/sub] for alle 1 ≤ i ≤ n. Vi vet at determinanten til en triangulær matrise er produktet av elementene på hoveddiagonalen. Følgelig blir

det(B) = b[sub]11[/sub]*b[sub]22[/sub]*...*b[sub]nn[/sub] = (λ - a[sub]11[/sub])*(λ - a[sub]22[/sub])*...* (λ - a[sub]nn[/sub]) = 0.

Dermed blir λ = a[sub]ii[/sub] der 1 ≤ i ≤ n. M.a.o. er egenverdiene til A elementene som ligger på hoveddiagonalen til A.