bevis av sin' og cos'

[gjest]

Håper at noen kan hjelpe meg med følgende beviser:

1) Vis at lim v->0 sin v/v =1


2) Bruk resultatet fra forige oppgave til å vise at lim v-> 0 (cos v-1)/v =0


3) Bruk definisjonen av den deriverte, summeformlene og de to foregående oppgavene til å vise at (sin v)'= cos v og (cos v)' = -sin v

[Solar Plexsus]

1) Her kan du bruke L'Hopitals regel:

lim[sub]v->0[/sub] sinv/v = lim[sub]v->0[/sub] (sinv)'/(v)' = lim[sub]v->0[/sub] cosv/1 = cos0 = 1.

Skal du ha et mer elementært bevis av at lim[sub]v->0[/sub] sinv/v = 1, finner du i mange matematikkbøker (bl.a. de for videregående skole) et geometrisk bevis for denne grenseverdien.


2) lim[sub]v->0[/sub] (cosv - 1)/v
= lim[sub]v->0[/sub] (cosv - 1)(cosv + 1) / [v(cosv + 1)]
= lim[sub]v->0[/sub] (cos[sup]2[/sup]v - 1) / [v(cosv + 1)]
= lim[sub]v->0[/sub] -sin[sup]2[/sup]v / [v(cosv + 1)] =
= [lim[sub]v->0[/sub] sinv/v] * [lim[sub]v->0[/sub] -sinv/(cosv + 1)]
= 1*[-sin0/(cos0 + 1]
= 0/(1 + 1)
= 0.

[Magnus]

edit: ser Solar Plexus allerede hadde svart...

spørsmål - er det meningnen at man skal bruke L'Hoptials? Dette virker veldig som den trigonometrien man lærer i 3MX.

[Gjest]

Tusen takk for hjelpa til oppgavene om den deriverte til cos og sin!

[Solar Plexsus]

3) Ifølge definisjonen av den deriverte er

(sinv)'
= lim[sub]h->0[/sub] [sin(v + h) - sinv] / h
= lim[sub]h->0[/sub] [sinv*cosh + cosv*sinh - sinv] / h
= lim[sub]h->0[/sub] [sinv(cosh - 1) + cosv*sinh] / h
= sinv*[lim[sub]h->0[/sub] (cosh - 1)/h] + cosv*[lim[sub]h->0[/sub] sinh/h]
= sinv*0 + cosv*1
= cosv.

(cosv)'
= lim[sub]h->0[/sub] [cos(v + h) - cosv] / h
= lim[sub]h->0[/sub] [cosv*cosh - sinv*sinh - cosv] / h
= lim[sub]h->0[/sub] [cosv(cosh - 1) - sinv*sinh] / h
= cosv*[lim[sub]h->0[/sub] (cosh - 1)/h] - sinv*[lim[sub]h->0[/sub] sinh/h]
= cosv*0 - sinv*1
= -sinv.