Dobbeltintegralet

[Pi]

[symbol:integral] [symbol:integral](R) [symbol:rot] (x^2 + y^2) dA
der R ={(x,y) i R^2 | x^2 - 4x + y^2 =< 0}

hvordan løser jeg det?

[Solar Plexsus]

Ved å innføre polare koordinater, dvs. x=r*cosu og y=r*sinu, får du at

(1) kv.rot(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) = r,

(2) x[sup]2[/sup] - 4x + y[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup] - 4r*cosu = r(r - 4cosu) ≤ 0,

så R er området gitt ved ulikhetene

(3) 0 ≤ u ≤ 2[symbol:pi] , 0 ≤ r ≤ 4cosu.

Herav følger at

[tex]\int \int_R \sqrt{x^2 + y^2} \: dA\; = \; \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \; \int_0^{4cosu} r^2 \: dr du.[/tex]

[Gjest]

Takk!

(2) x2 - 4x + y2 = r2 - 4r*cosu = r(r - 4cosu) ≤ 0,
men hva gjorde du med y^2 her?

[Solar Plexsus]

Husk at x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup], så

x[sup]2[/sup] - 4x + y[sup]2[/sup] = (x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) - 4x = r[sup]2[/sup] - 4r*cosu.

[Gjest]

åja... selvfølgelig...takk!

[Gjest]

Hvordan blir selve utregningene av integralene her?

[Heisenberg]

Hei,-

Jeg tror dere bør tenke dere om når det gjelder hvilke [tex] \theta [/tex] der skal integreres over her. Husk at området kan skrives

[tex] R=\{(x,y) \in \mathbf{R}^2 |(x-2)^2+y^2\leq 4 \}[/tex]

Se innlegget til nmekrist.

[Solar Plexsus]

Signaturen "Heisenberg" påpeker et meget viktig poeng, nemlig at sylinderen ligger i 1. og 4. kvadrant. Integrasjonsgrensene for θ kan følgelig ikke være 0 og 2[symbol:pi] som jeg skrev i mitt løsningsforslag. De korrekte integrasjonsgrensene for θ er -[symbol:pi]/2 og [symbol:pi]/2.

Det merkelige er at jeg har løst den samme oppgaven i dette forumet 6 dager senere (uten å erindre at jeg nylig hadde løst akkurat samme oppgave), men da har jeg fått de riktige integrasjonsgrensene for θ. Linken til denne utregningen er

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... php?t=5835

PS. Jeg har nå rettet opp feilen med integrasjonsgrensene for θ i mitt første løsningsforslag.