Diagonalisering

[Gjest]

Find a,b and c such that the matrix A is orthogonal. Are the values of a,b and c unique? Explain.

A=
a 1/[symbol:rot]2 -1/[symbol:rot]2
b 1/[symbol:rot]6 1/[symbol:rot]6
c 1/[symbol:rot]2 1/[symbol:rot]3

Jeg prøvde ved å si at den er ortogonal hvis det(A)= [symbol:plussminus]1, men det ble så vanskelig å løse.

[Solar Plexsus]

Du kan bruke følgende ekvivalens:

A er ortogonal hvis og bare hvis rad/kolonne-vektorene i A danner en ortonormal mengde i R[sup]3[/sup] mhp. det euklidske indreproduktet.

Ut fra denne ekvivalensen kan ikke A være ortogonal fordi den 2. og 3. kolonnevektor ikke har indreprodukt lik 0. Muligens beror dette på en skivefeil i matrisa A. Skal ikke tallet i rad 3, kolonne 2 være 1/[symbol:rot]3 i stedet for 1/[symbol:rot]2 ?

[Gjest]

Ja, klart, jeg har skrevet feil, skal være:
A=
a 1/[symbol:rot]2 -1/[symbol:rot]2
b 1/[symbol:rot]6 1/[symbol:rot]6
c 1/[symbol:rot]3 1/[symbol:rot]3

Men da får jeg til oppgaven, takk skal du ha!

[Gjest]

Var litt for kjapp der, klarer ikke å finne a,b og c.

[Solar Plexsus]

Bruk at radvektorene alle skal ha lengde 1. Da får du at a=0, b=[symbol:plussminus]kv.rot(2/3) og c=[symbol:plussminus]1/[symbol:rot]3. Beregner du det euklidske indreprodukt av ulike rad- og kolonnepar, kommer du til at bc<0. Dermed står du igjen med to løsninger.

[Gjest]

Jepp, da kom jeg i mål.