Integrasjon - hva gjør jeg nå?

[Voigt]

[tex]\int_{-1}^{\:1}\; \int_{-\sqrt{2-2y^2}}^{\:\,{\sqrt{2-2y^2}}} \; \int_0^{\:{1-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}}} \; dz \:dx \: dy =[/tex]

[tex]\int_{-1}^{\:1}\; \int_{-\sqrt{2-2y^2}}^{\:\,{\sqrt{2-2y^2}}} \; {\:{1-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}}} \:dx \: dy =[/tex]

[tex]\int_{-1}^{\:1}\; [x - \frac{1}{4}x^2 -\frac{yx}{2}]_{-\sqrt{2-2y^2}}^{\:\,{\sqrt{2-2y^2}} \: dy =[/tex]

[tex]\int_{-1}^{\:1}\; 2\sqrt{2-2y^2} - y*\sqrt{2-2y^2} \:dy =[/tex]

y=sint dy=cost dt, nye grenser - [symbol:pi]/2 til [symbol:pi]/2

[tex]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\:\frac{\pi}{2}}\; 2\sqrt{2}*cost - sint*\sqrt{2}*cost*cost \:dt =[/tex]

Her stopper det for meg.

[Solar Plexsus]

Legg merke til at funksjonen f(t)=sint*cos[sup]2[/sup]t er symmetrisk om origo, dvs. at f(-t) = -f(t). Dermed blir

[tex]\int_{-a}^a f(t) \: dt = 0[/tex]

når a er en vilkårlig konstant.

[Voigt]

Hm, ok. Jeg hadde aldri i verden sett at den funksjonen hadde vært symmetrisk om origo.

I utgangspunktet skal jeg finne arealet i R[sup]3[/sup] avgrenset av x[sup]2[/sup]+2y[sup]2[/sup]=2, x+y+2z=2 og z=0, så hadde det vært lettere og skiftet variable?

[Solar Plexsus]

For å løse integralet

[tex]I = \int y \sqrt(2 - 2y^2) dy[/tex]

kan du heller bruke substitusjonen u = kv.rot(2 - 2y[sup]2[/sup]). Da får du at

[tex]I \;=\; \int -\frac{u^2}{2} du \;=\; -\frac{u^3}{6} \:+\: C \;=\; -\frac{(2 - 2y^2)^{3/2}}{6} \:+\: C,[/tex]

der C er en vilkårlig konstant.