matematikk.net

a) La f(x, y) angi kvadratet av avstanden mellom punktet (0, 0, 2)
og et punkt (x, y, z) på flaten z = xy. Bestem og klassifiser alle
kritiske punkt for f.

b) Vis at når x2 +y2 ≥ 3, så er f(x, y) ≥ 3. Benytt dette og a) til
finne minste avstand mellom punktet (0, 0, 2) og flaten z = xy.

Hei,-

Først kan vi hvertfall finne f(x,y). Avstanden fra et punkt (x,y,z) til (0,0,2) er
[tex] f(x,y,z)=x^2+y^2+(z-2)^2 [/tex]
Men siden z=xy fås
[tex] f(x,y)=x^2+y^2+(xy-2)^2 [/tex]

Regner ut [tex] \nabla f [/tex]

[tex] \nabla f= (2x+2(xy-2)y) \mathbf{i} + (2y+2(xy-2)x)\mathbf{j} [/tex]

Kritiske punkter er da løsningene (x,y) av likningene

[tex]2x+2xy^2-4y=0 [/tex]
[tex]2y+2x^2y-4x=0[/tex]

Jeg finner tre kritiske punkt
(0,0) v (1,1) v (-1,-1)

Regner ut andre-ordens partielt deriverte av f
[tex] \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2+y^2 [/tex]
[tex] \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2+x^2 [/tex]
[tex] \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=4xy-4 [/tex]

Utifra dettte finner jeg at (0,0) er et sadelpunkt, (1,1) som et lokalt minimum og (-1,-1) som et lokalt minimum. Hvis [tex] x^2+y^2\geq 3[/tex], så følger det at
[tex] f(x,y)\geq 3+(xy-2)^2 \geq 3 [/tex]

siden [tex] (xy-2)^2\geq 0 [/tex].

Regner så ut [tex] f(1,1) [/tex] og [tex] f(-1,-1) [/tex] og finner
[tex][tex][/tex] f(1,1)=3=f(-1,-1). Dette må vel da være de globale minimum.

Ahh - supert Tusen takk