Transforamsjon og dobbeltintegral

[Matteliten]

Har enda flere oppgaver jeg lurer på jeg... *Sukk*

La S og D være de kvadratiske områadene i planet med hjørner
S : (0, 1), (−1, 0), (0, 1) og (0,−1),
D : (1, 1), (1,−1), (0, 1) og (−1,−1).

a) Finn en transformasjon T : R2 → R2 som avbilder D entydig
på S.
b) Regn ut integralet
[symbol:integral][symbol:integral] (x - y)e^(x+y)dxdy. på S

[Solar Plexsus]

Her er verken S eller D kvadrat (S en trekant og D er et trapes). Det skal ikke være

S: (0,1), (-1,0), (1,0), (0,-1),
D: (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)?

[Matteliten]

Hm, neei, det står sånn i oppgaven... Den ligger forøvrig http://www.math.ntnu.no/~heidida/MA1103 ... blig_2.pdf hvis du vil se... Kan ikke se at jeg har skrevet den av feil?

[Matteliten]

Men i S er jo vitterlig samme punktet oppgitt to ganger... Nå, sett at de var slik du sier, hvrdan ville du da ha gjort det? Må jo være noe feil i oppgaveteksten her?

[Matteliten]

Foreleser har endra hjørnene, de skal være som du sa
Men jeg skjønner fremdeles ikke bæret av oppgaven...

[Solar Plexsus]

a) La O være origo og P et punkt på D. Ved å multiplisere vektoren OP med 1/[symbol:rot]2 og deretter rotere den resulterende vektoren 45[sup]o[/sup] mot klokka rundt origo, får vi en entydig lineærtransformasjon T som avbilder D på S. Så er OP=[x,y], blir

Kode: Velg alt

T(OP) = T([x,y]) = [cos45 -sin45][1/kv.rot(2)][x] = [(x - y)/2]
                   [sin45  cos45][1/kv.rot(2)][y]   [(x + y)/2].

M.a.o. er T(x,y) = ((x - y)/2, (x + y)/2) en (lineær)transformasjon som avbilder D entydig på S.

b) Integralet

I = [symbol:integral][symbol:integral][sub]S[/sub] (x - y)e[sup]x + y[/sup] dx dy

kan beregnes ved å anvende lineærtransformasjonen T[sup]-1[/sup](x,y) = (x + y, -x + y) som entydig avbilder S på D. Ved å sette u = x + y og v = -x + y, får vi at

[tex]I \;=\; \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 -v\,e^u \: \mid J_T^{-1}(u,v) \mid \; du \, dv[/tex]

der J[sub]T[sup]-1[/sup][/sub](u,v) er Jacobi-determinanten [tex]\part (x,y) / \part(u,v)[/tex]. Den trenger vi ikke regne ut fordi

[tex]I \;=\; - \, \mid J_T^{-1}(u,v) \mid \int_{-1}^1 [e^u]_{-1}^1 v \, dv \\ = \; (e^{-1} \:-\: e) \: \mid J_T^{-1}(u,v) \mid \: \int_{-1}^1 v \: dv \\ =\; (e^{-1} \:-\: e) \: \mid J_T^{-1}(u,v) \mid \: [v^2/2]_{-1}^1 \\ = \; (e^{-1} \:-\: e) \: \mid J_T^{-1}(u,v) \mid \: (1/2 \:-\: 1/2) \\ = \; 0.[/tex]

[Matteliten]

Ahh - Tusen takk