Limes

[Steven]

1) Evaluate the limit:
[tex]lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{2!^2}{(2n)!} [/tex]

Ved å sjekke med diverse tall ser man at den går mot 0, men hvordan skal jeg liksom vise det?

2) Let a[sub]1[/sub]=1 and a[sub]n+1[/sub] = [symbol:rot] (1 + 2a[sub]n[/sub] ), (n=1,2,3...). Show that {a[sub]n[/sub]} is increasing and bounded above. Hence, conclude that the sequence converges, and find its limit.

[Gjest]

1)
Nå er jo (2!)^2 en konstant. Du er sikker på at mattestykket er riktig?

[Steven]

[tex]lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{n!^2}{(2n)!} [/tex]

Sånn, stygg feil.

[Solar Plexsus]

Nå er n![sup]2[/sup]/(2n)! = 1/(2nCn) der

[tex] 2n{\bf C}n \\ =\; \frac{2n(2n - 1)(2n - 2)...(2n - (n - 1))}{n!} \\=\; \frac{2n}{n} \: \frac{2n - 1}{n - 1} \: \frac{2n - 2}{n - 2} \: \cdots \: \frac{2n - (n - 1)}{n - (n - 1)} \\=\; \prod_{k=1}^n \frac{2n - k}{n - k} \\ \geq \; \prod_{k=1}^n 2 \; (\mbox{fordi} \; 2n \:-\: k \:>\: 2(n \:-\: k) \; \mbox{n{\aa}r} \; n \:\geq\: k \:>\: 0) \\ =\; 2^n.[/tex]

Altså er 2nCn ≥ 2[sup]n[/sup] for alle naturlige tall n, noe som betyr at

(1) 0 < 1/2nCn ≤ 1/2[sup]n[/sup].

Siden lim[sub]n->[symbol:uendelig] [/sub] 1/2[sup]n[/sup] = 0, følger det av (1) at

lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub] n![sup]2[/sup] / (2n)! = 0.

[Steven]

Ehm, hva betyr den tjukke c-en og de to søylene?

[Solar Plexsus]

* nCr er binomialkoeffisienten n!/(r!*(n - r)!). Så 2nCn = (2n)!/(n!*n!) = (2n)!/(n!)[sup]2[/sup].

* Symbolet ∏ kan anvendes ved multiplikasjon:

[tex]\prod_{i=1}^n \: x_i \;=\; x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \, \cdots \, x_{n-1} \cdot x_n[/tex]

To eksempler på bruk av ∏:

1) [tex]\prod_{i=3}^5 \: (2i \:-\: 1) \;=\; 5 \cdot 7 \cdot 9.[/tex]

2) [tex]\prod_{i=1}^n \: i \;=\; 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \;=\; n! [/tex]

[Solar Plexsus]

b) Anta induktivt at a[sub]n[/sub] < 1 + [symbol:rot]2. I så fall vil

a[sub]n+1[/sub][sup]2[/sup] = 1 + 2a[sub]n[/sub] < 1 + 2*(1 + [symbol:rot]2) = 1 + 2 + 2[symbol:rot]2 = 3 + 2[symbol:rot]2 = (1 + [symbol:rot]2)[sup]2[/sup].

dvs. at a[sub]n+1[/sub] < 1 + [symbol:rot]2. Altså er følgen {a[sub]n[/sub]} oppad begrenset av 1 + [symbol:rot]2.
Ettersom a[sub]n+1[/sub] = kv.rot(1 + 2a[sub]n[/sub]) med a[sub]1[/sub] = 1, er a[sub]n[/sub] ≥ 1. Dette betyr at a[sub]n[/sub] = 1 + [symbol:rot]2 - b[sub]n[/sub] for et tall b[sub]n[/sub]€(0, [symbol:rot]2]. Herav følger at

a[sub]n+1[/sub]
= kv.rot( 1 + 2a[sub]n[/sub] )
= kv.rot( 1 + 2(1 + [symbol:rot]2 - b[sub]n[/sub]) )
= kv.rot( 3 + 2[symbol:rot]2 - 2b[sub]n[/sub] )
> kv.rot( 3 + 2[symbol:rot]2 - 2b[sub]n[/sub] + b[sub]n[/sub](b[sub]n[/sub] - 2[symbol:rot]2) ) (NB! b[sub]n[/sub]( b[sub]n[/sub] - 2[symbol:rot]2) < 0 fordi b[sub]n[/sub]€(0,[symbol:rot]2])
= kv.rot( 3 + 2[symbol:rot]2 - 2(1 + 2[symbol:rot]2)b[sub]n[/sub] + b[sub]n[/sub][sup]2[/sup] )
= kv.rot( (1 + [symbol:rot]2 - b[sub]n[/sub])[sup]2[/sup] ).

M.a.o. er a[sub]n+1[/sub] > 1 + [symbol:rot]2 - b[sub]n[/sub] = a[sub]n[/sub]. Følgelig er {a[sub]n[/sub]} en monotont voksende følge som er oppad begrenset. Da vet vi at denne følgen konvergerer, dvs. at A = lim[sub]n-> [symbol:uendelig] [/sub]a[sub]n[/sub] eksisisterer. Nå er

lim[sub]n->[symbol:uendelig] [/sub]a[sub]n[/sub] = lim[sub]n-> [symbol:uendelig][/sub] kv.rot(1 + 2a[sub]n[/sub]) = kv.rot(1 + 2*lim[sub]n-> [symbol:uendelig] [/sub]a[sub]n[/sub]),

som innebærer at

A = kv.rot(1 + 2A)

A[sup]2[/sup] = 1 + 2A

A[sup]2[/sup] - 2A + 1 = 2

(A - 1)[sup]2[/sup] = 2

│A - 1│= [symbol:rot] 2

A - 1 = [symbol:rot] 2 (fordi A - 1 ≥ 0 ettersom a[sub]n[/sub] ≥ 1)

A = 1 + [symbol:rot]2.

[Steven]

Da har jeg lært noe nytt, har aldri sett det symbolet før.

Men jeg henger fortsatt ikke med på 1), kan den gjøres uten å komme innom binominalkoeffisient?

Gjelder da fortsatt,
[tex]lim_{n%20\rightarrow%20\infty}%20\:%20\frac{n!^2}{(2n)!}[/tex]
I boka er den helt i introduksjons-kapittelet, så det burde egentlig vært lett. Jeg klarer jo å se at den går mot 0 ved å sette inn tall, men det holder jo på langt nær ikke.

[Solar Plexsus]

Du har rett i at dette kan gjøres uten å bruke binomialkoeffisenter. Jeg ser nå at jeg har gjort det unødig vanskelig. Det holder nemlig å vise at

n*n![sup]2[/sup] / (2n)!
= n*n!*n! / [n!*(n+1)*(n+2)*...*(2n)]
= [1*2*...*n] / [2(n+1)(n+2)*...*(2n-1)]
= [1/2]*[2/(n+1)]*[3/(n+2)]*...*[n/(2n-1)]
< 1,

dvs. at n* n![sup]2[/sup]/(2n)! < 1. Ved å dele på n, får vi at n![sup]2[/sup]/(2n)! < 1/n. Ettersom n![sup]2[/sup]/(2n)! > 0 for alle naturlige tall n og lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub] 1/n = 0, må

lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub] n![sup]2[/sup]/(2n)! = 0.

[Gjest]

Du kan også bruke at [tex]n![/tex] går asymptotisk som [tex]e^{-n} n^n[/tex].

Du får da [tex] (n!)^2 = O(e^{-2n} n^{2n})[/tex],
mens [tex](2n)! = O(e^{-2n} (2n)^{2n})[/tex].

Dividerer vi disse med hverandre får vi
[tex]\frac{(n!)^2}{(2n)!} = O(\frac{n^{2n}}{2^{2n}n^{2n}}) = O(\frac{1}{2^{2n}})[/tex] som jo åpenbart går mot 0.