Finne egenverdier

[Gjest]

Skal finne egenverdiene til matrisen A:

Kode: Velg alt

-2   0 -36
 0  -3  0
-36  0 -23

Men det(IL-A)=0 blir så stygt at jeg ikke klarer å løse ut egenverdiene.

(L=lambda)

[Solar Plexsus]

Her er

Kode: Velg alt

              [λ+2    0    36]
det(λI - A) = [ 0    λ+3    0]
              [36     0  λ+23]

Utregning av determinanten gir

det(λI - A)
= (λ + 2)(λ + 3)(λ + 23) - 36[sup]2[/sup](λ + 3)
= (λ + 3) [(λ + 2)(λ + 23) - 1296]
= (λ + 3)(λ[sup]2[/sup] + 25λ - 1250)
= (λ + 3)(λ - 25)(λ + 50).

Så egenverdiene til A er -50, -3 og 25.

[Gjest]

Takk.
Hva med denne, A =
3 1 0 0
1 3 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

Da blir det(LI-A)=(L-3)(L-)*L*L=0 L=0 v 3, men det skal visst være 4, 2 og 0?

[Solar Plexsus]

Her får du at λI - A blir

Kode: Velg alt

λ-3 -1  0  0
-1  λ-3 0  0
 0   0  λ  0
 0   0  0  λ

Ved kofaktorutvikling langs den 4. raden får vi at det(λI - A) blir (-1)[sup]4+4[/sup]λ = λ multiplisert med determinanten til 3x3-matrisen

Kode: Velg alt

λ-3 -1  0
-1  λ-3 0
 0   0  λ

som er

λ(λ- 3)[sup]2[/sup] - λ = λ[(λ- 3)[sup]2[/sup] - 1] = λ(λ - 3 - 1)(λ + 3 - 1) = λ(λ - 4)(λ - 2).

M.a.o. blir

det(λI - A) = λ[sup]2[/sup](λ - 4)(λ - 2).

Altså er egenverdiene til A 0, 2 og 4.

[Gjest]

Takk, den var litt triksete.