Taylorpolynom

[Matteliten]

jeg skal finne Taylorpolynomet av 6. grad omkring x=0 for

f(x) = 1/(1+2x^2)

ved hjelp av kjente Taylorpolynomer og variabelskifte.

Vet ikke helt hvordan jeg skal gjøre dette, kan noen hjelpe meg?

[Solar Plexsus]

Taylor-rekka til funksjonen 1/(1 - y) omkring y = 0 er

[tex](1) \;\; \sum_{n=0}^{\infty} y^n\:. [/tex]

der │y│< 1. Ved å sette y = -2x[sup]2[/sup] i (1), får du at Taylor-rekka til f(x) = 1/(1 + 2x[sup]2[/sup]) blir

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} (-2x^2)^n\:. [/tex]

hvor │x│< 1/[symbol:rot]2. Altså blir Taylor-polynomet til f(x) av 6. grad omkring x = 0

[tex]\sum_{n=0}^3 (-2x^2)^n \;=\; 1 \:-\: 2x^2 \:+\: 4x^4 \:-\: 8x^6 \: . [/tex]

[Matteliten]

Tusen takk for svar Bare lurer på en liten ting - hvorfor stopper vi på n=3?

[Solar Plexsus]

Her har vi at (-2x[sup]2[/sup])[sup]n[/sup] har grad 2n, så for å få Taylorpolynomet av 6. grad, må vi summere (-2x[sup]2[/sup])[sup]n[/sup] fra 2n=0 til 2n=6, dvs. fra n=0 til n=3.