matematikk.net

Hei, jeg lurer på om noen kan hjelpe meg med tre følger? Oppgavene går ut på å "find sum or show that it diverges".

i) [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{{2+\pi}^{2n}}[/tex]
Denne er ikke ulik [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^2}[/tex] som vi vet konvergerer.
Her går nevneren enda sterkere mot uendelig, så denne konvergerer i alle fall, men mot hva?


ii) [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac {{n^2}+1}{{n^3}+1}[/tex]


iii) [tex]\sum_{n=2}^\infty \frac {1}{({ln(n)})^3}[/tex]

Vet at [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^p}[/tex] konvergerer for p større eller lik 1, men holder det å si det? Konvergerer den egentlig?

[tex]i) \;\sum_{n=1} \: \frac{1}{2 \:+\: \pi^{2n}} \;\:< \; \sum_{n=1} \: \frac{1}{\pi^{2n}} \;=\; \frac{1}{\pi^2 \:-\: 1}.[/tex]

[tex]ii) \;\sum_{n=1} \: \frac{n^2 \:+\ 1}{n^3 \:+\: 1} \;\:> \; \sum_{n=1} \: \frac{1}{n} \;=\; \infty.[/tex]

[tex]iii) \;\sum_{n=2} \: \frac{1}{(lnn)^3} \;\: > \; \sum_{n=2} \: \frac{1}{n \, lnn} \;\:>\; \int_2^{\infty} \frac{dx}{x \, lnx} \;=\; [ln(lnx)]_2^{\infty} \;=\; \infty.[/tex]

Konklusjon: Rekken i i) er konvergent mens rekkene i ii) og iii) er divergente.

Åi, takker så meget.
Ser jeg dog har gjort en liten feil på i), skal være:
[tex]\sum_{n=1}^\infty%20\frac%20{1}{({2+\pi})^{2n}}[/tex]

Rekken

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \: \frac{1}{(2 \:+\: \pi)^{2n}}[/tex]

er en geometriksk rekke med kvotient k = 1/(2 + [symbol:pi])[sup]2[/sup]. Ettersom 0 < k < 1, konvergerer denne rekken mot

[tex]\frac{k^{-1}}{1\:-\: k^{-1}} \;=\; \frac{1}{k \:-\: 1} \;=\; \frac{1}{(2 \:+\: \pi)^2 \:-\: 1} \;=\; \frac{1}{3 \:+\: 4\pi \:+\: \pi^2}\,.[/tex]

Takker, da var jeg i mål!