Har jeg rett svar?

[Kaká]

Skal løse diff.likn. systemet:

Kode: Velg alt

 x1      -2x3 = x'1
-2x1 +x2 -2x3 = x'2
-2x1      +x3 = x'3

Jeg fikk svaret

Kode: Velg alt

2e^t
3e^t
0

Noen som enkelt kan se om dette er rett?

[Heisenberg]

Hei,-

Jeg synes det ser rart ut! Hvis jeg forstår deg riktig har du funnet

[tex] x_1=2e^{t}, x_2=3e^t, x_3=0 [/tex].

Da er det helt klart at det ikke passer at [tex] -2x_1+x_3=\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d}t} [/tex].

Enig?

[Kaká]

Joda, men jeg skjønner ikke hvor jeg gjør feil heller.
Glemte initialbetingelsene x1(0)=2, x2(0)=3 og x2(0)=0.

[Heisenberg]

Hva har du funnet som egenvektorer og egenverdier da?

[Kaká]

Egenvektorene:
[1,0,-1][sup]T[/sup], [1,2,1][sup]T[/sup] og [0,1,0][sup]T[/sup]
Egenverdier: 3, 1 og -1.

[Heisenberg]

Det er jeg enig i, bortsett fra at jeg får at egenverdien 1 hører til egenvektoren [0,1,0] og egenverdien -1 til egenvektoren [1,2,1].

[tex]x_1(t)=\alpha_1e^{3t}+\alpha_2e^{-t} [/tex]
[tex]x_2(t)=2\alpha_2e^{-t}+\alpha_3e^{t}[/tex]
[tex]x_3(t)=-\alpha_1e^{3t}+\alpha_2e^{-t} [/tex].


Alle disse alpfa'ene er konstanter som bestemmes fra initialbetingelsene.
Jeg har ikke bestemt alfaene, i håp om at du kanskje kan komme noe videre med dette?

[Kaká]

Jeg har da gjort det slik:
Har funnet, D, P og P[sup]-1[/sup].

Kode: Velg alt

D= 3 0  0   P= 1 1 0   P^-1= 1/2 0 -1/2
   0 1  0      0 2 1         1/2 0  1/2
   0 0 -1     -1 1 0          -1 1 -1

Innfører:
v' = D*v ->
v'[sub]1[/sub] = 3v[sub]1[/sub]
v'[sub]2[/sub] = v[sub]2[/sub]
v'[sub]3[/sub] = -v[sub]3[/sub]

v(0) = P[sup]-1[/sup]*x(0) = [1,1,1][sup]T[/sup].
v[sub]1[/sub] = e[sup]t[/sup]
v[sub]2[/sub] = e[sup]t[/sup]
v[sub]3[/sub] = e[sup]t[/sup]

x(t) = P*v(t) = [2e[sup]t[/sup], 3e[sup]t[/sup],0]

[Heisenberg]

OK. Men husk på at hvis du har diff-likningen

[tex]\frac{\mathrm{d}v_1}{\mathrm{d}t}=3v_1 [/tex]
så er løsningen [tex] v_1(t)=e^{3t} [/tex]. På samme måte blir
[tex] v_2(t)=e^t, v_3(t)=e^{-t} [/tex].

Det blir derfor feil når du skriver [tex] v_1=v_2=v_3=e^t [/tex] såvidt jeg kan forstå.

[Kaká]

Hm, ok. Men hvordan skal jeg da gjøre det hvis jeg vil gjøre det på måten jeg skisserer?

[Heisenberg]

Altså, det jeg sier er at for å finne [tex] v_1, v_2, v_3 [/tex] må du løse de likningene du selv setter opp for de deriverte. Du bør kunne bruke metoden på akkurat samme måte, men da med [tex] v_1, v_2, v_3 [/tex] som er de rette løsningene av de tre likningene dine.

Det betyr at det eneste som må endres er vektoren [tex] v(t) [/tex]. Sett denne lik [tex] v(t)=[e^{3t},e^t, e^{-t}]^T [/tex], og forsøk igjen.

[Kaká]

Vel, da fikk jeg:

e[sup]3t[/sup]+e[sup]-t[/sup]
2e[sup]-t[/sup]+e[sup]t[/sup]
-e[sup]3t[/sup]+e[sup]-t[/sup]

Er det noen måte jeg kan verfisere at dette er riktig?

[Kaká]

TTT!