Algebra

[Marianne!]

Hei, jeg skulle gjerne hatt ltit hjelp til en oppgave.

1, vis at hvis D er en diagonal matrise med ikke-negative elementer på hoveddiagonalen, så finnes det en matrise S slik at S[sup]2[/sup] = D.

2, vis at hvis A er en diagonaliserbar matrise med ikke-negative egenverdier, så finnes den en matrise S slik at S[sup]2[/sup] = A.

3, finn en matrise S slik at S[sup]2[/sup] = A, if A =
1 3 1
0 4 5
0 0 9

Det var det

[Andrina]

Regner med at du er over de reelle tall her.

1.La D være en diagonal nxn matrise med ikke- negative reelle tall (d1,...,dn) på hoveddiagonalen. Siden d1,...,dn er ikke negative, eksisterer kvadratrøttene e1=kv.rot(d1),..., en=kv.rot(dn).
La S være nxn diagonal matrisen med tallene (e1,...,en) på hoveddiagonalen. Du kan sjekke at S^2=D.

2. La A være en diagonaliserbar matrise med ikke-negative egenverdier. Da finnes det en matrise B slik at B^(-1)*A*B=D, der D er en diagonal matrise med egenverdiene til A på hoveddiagonalen. Siden egenverdiene til A er ikke-negative, finnes det ved 1. en matrise T slik at T^2=D.
Så B^(-1)*A*B=T^2,

A=B*T^2*B^(-1)

Ta S=B*T*B^(-1)

Da er S^2=(B^*T*B^(-1))(B*T*B^(-1))=B*T*B^(-1)*B*T*B^(-1)=

B*T^2*B^(-1)=A.

For 3. må du diagonalisere A, dvs, finne en B slik at B^(-1)*A*B er en diagonal matrise, og så bruke metoden ovenfor. Skal komme tilbake til det.

[Solar Plexsus]

3) Egenverdiene til A er 1, 4 og 9 med tilhørende egenvektorer [1 0 0][sup]t[/sup], [1 1 0][sup]t[/sup] og [1 2 2][sup]t[/sup] respektive. Altså vil matrisa

Kode: Velg alt

    [1 1 1]
P = [0 1 2]
    [0 0 2]

diagonalisere A. Da vil matrisa S = P*M*P[sup]-1[/sup] der

Kode: Velg alt

         [1 -1  1/2]        
P^(-1) = [0  1   -1] 
         [0  0  1/2]

og

Kode: Velg alt

    [kv.rot(1)   0          0     ]   [1 0 0]
M = [   0     kv.rot(4)     0     ] = [0 2 0]
    [   0        0       kv.rot(9)]   [0 0 3]

tilfredsstille matriselikningen S[sup]2[/sup] = A. Matrisemultiplikasjon gir

Kode: Velg alt

    [1 1 0]
S = [0 2 1].
    [0 0 3]

[Andrina]

3. A har egenverdier x1=1, x2=4, x3=9, med egenvektorer
v1=[1,0,0]^t, v2=[1,1,0]^t, v3=[1,2,2]^t (^t står for transponert).

Da blir
D=
1 0 0
0 4 0
0 0 9

og B=
1 1 1
0 1 2
0 0 2

B^(-1)=
1 -1 1/2
0 1 -1
0 0 1/2


Da er T slik at T^2=D gitt ved
T=
1 0 0
0 2 0
0 0 3

og S=B*T*B^(-1)
=
1 1 0
0 2 1
0 0 3

(Nå kan du sjekke at S^2=A).