x = F( s, f(s), g(s,t) )
kan noen fortelle mig hvordan jeg finner
utrykket for
den deriverte av x m.h.p s og den deriverte av x m.h.p t ?
:epsilon
Syk derivasjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Her er X = F(u(s,t), v(s,t), w(s,t)) = F(u,v,w) der u(s,t) = s, v(s,t) = f(s) og w(s,t) = g(s,t). Ifølge den generelle kjerneregelen for derivasjon er
(1) [symbol:diff]X/[symbol:diff]s = ([symbol:diff]X/[symbol:diff]u)*([symbol:diff]u/[symbol:diff]s) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*([symbol:diff]v/[symbol:diff]s) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*([symbol:diff]w/[symbol:diff]s).
Nå er [symbol:diff]u/[symbol:diff]s = 1, [symbol:diff]v/[symbol:diff]s = f '(s) og [symbol:diff]w/[symbol:diff]s = g[sub]s[/sub](s,t). Dette i kombinasjon med (1) gir
[symbol:diff]X/[symbol:diff]s = [symbol:diff]X/[symbol:diff]u + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*f '(s) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*g[sub]s[/sub](s,t).
Likeledes blir
[symbol:diff]X/[symbol:diff]t
= ([symbol:diff]X/[symbol:diff]u)*([symbol:diff]u/[symbol:diff]t) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*([symbol:diff]v/[symbol:diff]t) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*([symbol:diff]w/[symbol:diff]t)
= ([symbol:diff]X/[symbol:diff]u)*0 + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*0 + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*g[sub]t[/sub](s,t)
= ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*g[sub]t[/sub](s,t).
(1) [symbol:diff]X/[symbol:diff]s = ([symbol:diff]X/[symbol:diff]u)*([symbol:diff]u/[symbol:diff]s) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*([symbol:diff]v/[symbol:diff]s) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*([symbol:diff]w/[symbol:diff]s).
Nå er [symbol:diff]u/[symbol:diff]s = 1, [symbol:diff]v/[symbol:diff]s = f '(s) og [symbol:diff]w/[symbol:diff]s = g[sub]s[/sub](s,t). Dette i kombinasjon med (1) gir
[symbol:diff]X/[symbol:diff]s = [symbol:diff]X/[symbol:diff]u + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*f '(s) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*g[sub]s[/sub](s,t).
Likeledes blir
[symbol:diff]X/[symbol:diff]t
= ([symbol:diff]X/[symbol:diff]u)*([symbol:diff]u/[symbol:diff]t) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*([symbol:diff]v/[symbol:diff]t) + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*([symbol:diff]w/[symbol:diff]t)
= ([symbol:diff]X/[symbol:diff]u)*0 + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]v)*0 + ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*g[sub]t[/sub](s,t)
= ([symbol:diff]X/[symbol:diff]w)*g[sub]t[/sub](s,t).