addisjonsmetoden
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
carinaen
jeg lurer på hvorfor vi kan bruke addisjonsmetoden til å regne ut likninger med to ukjente. hvorfor kan vi gjøre det vi gjør?
-
Gjest
Kan du forklare litt hva addisjonsmetoden er? Forskjellige bøker bruker forskjellige betegnelser på diverse metoder.
Men, i mellomtiden kan jeg gjette, jeg gjetter på at addisjonsmetoden er å legge sammen ligningene, f.eks. hvis vi har
[tex]\begin{align}x+y&=1\\x-y&=-1\end{align}[/tex]
så kan vi legge sammen ligningene og få:
[tex]2x+0y = 0[/tex], så [tex]x=0[/tex] og da må [tex]y=1[/tex].
Så hvorfor kan vi gjøre dette? Siden venstresiden er lik høyresiden i hver ligning så må jo summen av alle venstresidene være lik summen av alle høyresidene. Vi kan også trekke fra hverandre ligningene, til og med gange dem med hverandre og få:
[tex](x+y)(x-y) = -1[/tex]
som vi så kan gange ut:
[tex]x^2 - y^2 = -1[/tex]
eller vi kan dele ligningene med hverandre:
[tex]\frac{x-y}{x+y} = -1[/tex]
men disse utregningene bringer oss ikke nærmere noen løsning i dette tilfellet. Vi kan i det hele tatt gjøre mye med ligningssett, men ikke alt bringer oss nærmere løsningen.
Men, i mellomtiden kan jeg gjette, jeg gjetter på at addisjonsmetoden er å legge sammen ligningene, f.eks. hvis vi har
[tex]\begin{align}x+y&=1\\x-y&=-1\end{align}[/tex]
så kan vi legge sammen ligningene og få:
[tex]2x+0y = 0[/tex], så [tex]x=0[/tex] og da må [tex]y=1[/tex].
Så hvorfor kan vi gjøre dette? Siden venstresiden er lik høyresiden i hver ligning så må jo summen av alle venstresidene være lik summen av alle høyresidene. Vi kan også trekke fra hverandre ligningene, til og med gange dem med hverandre og få:
[tex](x+y)(x-y) = -1[/tex]
som vi så kan gange ut:
[tex]x^2 - y^2 = -1[/tex]
eller vi kan dele ligningene med hverandre:
[tex]\frac{x-y}{x+y} = -1[/tex]
men disse utregningene bringer oss ikke nærmere noen løsning i dette tilfellet. Vi kan i det hele tatt gjøre mye med ligningssett, men ikke alt bringer oss nærmere løsningen.
-
Gjest
Som sagt får me ikkje nødvendigvis bortfall av nokon variabel dersom me berre adderer likningane saman. Dersom me derimot adderer den eine likninga med eit passande multiplum av den andre, så får me bortfall av ein variabel og likningane vert forenkla. Dersom me har eit likningsystem med endå fleire variablar, så kan systematisk bruk av denne metoden til slutt gje oss likningar med berre ein variabel. Dette er gjennomført i Gaussisk eliminasjon i lineær algebra.