La (a,b) være et punkt på sirkelen x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=1.
Bevis at tangenten til sirkelen i (a,b) har likningen ax+by = 1.
Skal visst være et enkelt bevis
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Vi tenker oss linjen som går fra origo ut til [tex](a,b)[/tex]. Den har retningsvektor [tex](a,b)[/tex]. Tangenten i det punktet står vinkelrett på denne linjen. Så [tex](a,b)[/tex] er en normalvektor til tangenten.
Vi vet at linjen da er gitt ved [tex](a,b)\cdot(x,y) = c[/tex] for en eller annen [tex]c[/tex]. Dvs. [tex]ax + by = c[/tex]. Vi må finne [tex]c[/tex].
Vi har ett punkt som vi vet er på tangenten, nemlig [tex](a,b)[/tex].
Vi setter inn dette:
[tex]a*a + b*b = c[/tex], men vi vet også at [tex]a*a + b*b = a^2+b^2 = 1[/tex]
fordi det er på sirkelen, så [tex]c=1[/tex].
Vi vet at linjen da er gitt ved [tex](a,b)\cdot(x,y) = c[/tex] for en eller annen [tex]c[/tex]. Dvs. [tex]ax + by = c[/tex]. Vi må finne [tex]c[/tex].
Vi har ett punkt som vi vet er på tangenten, nemlig [tex](a,b)[/tex].
Vi setter inn dette:
[tex]a*a + b*b = c[/tex], men vi vet også at [tex]a*a + b*b = a^2+b^2 = 1[/tex]
fordi det er på sirkelen, så [tex]c=1[/tex].