Nullrom

Gjest · 05/04-2006 16:37

Jeg skal finne nullrommet til matrisa A

 2 -3  6  2  5 
-2  3 -3 -3 -4
 4 -6  9  5  9
-2  3  3 -4  1

Prøver da å løse Ax=0, Gausser, ender opp med

Kode: Velg alt

2 -3 0 0 0 0
0  0 3 0 1 0
0  0 0 1 0 0
0  0 0 0 1 0

Her stopper det for meg, ender bare opp med at 2x[sub]1[/sub]-3x[sub]2[/sub]=0. Både x[sub]3[/sub]=x[sub]4[/sub]=x[sub]5[/sub]=0.

05/04-2006 17:08

Jeg får en annet svar enn deg når jeg "gausser" A. Ender opp med følgende matrise:

Kode: Velg alt

[-2 3 0 0 9]
[ 0 0 3 0 4]
[ 0 0 0 1 3]
[ 0 0 0 0 0]

Herav følger at {(27, 0, -8, -18, 6), (3, 2, 0, 0, 0)} er en basis for nullrommet til A.

Gjest · 05/04-2006 18:09

Da har jeg trolig gjort en feil en plass, men skjønner ikke hvordan du fant den basisen.

05/04-2006 19:11

Mitt svar er nok korrekt ettersom jeg har kontrollert det vha. av Mathematica. Når det gjelder nullrommet til A, er det løsningsrommet til det homogene likningssystemet

-2x[sub]1[/sub] + 3x[sub]2[/sub] + 9x[sub]5[/sub] = 0,
3x[sub]3[/sub] + 4x[sub]5[/sub] = 0,
x[sub]4[/sub] + 3x[sub]5[/sub] = 0.

Ved å sette x[sub]2[/sub] = 2s og x[sub]5[/sub] = 6t, får du at løsningen av dette likningssystemet blir

(x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub], x[sub]4[/sub], x[sub]5[/sub]) = (3s +27t, 2s, -8t, -18t, 6t) = (3,2,0,0,0)s + (27,0,-8,-18,6)t.

Gjest · 05/04-2006 19:25

Flott.
Bare sånn for fremtidige oppgaver jeg skal løse, hvordan ser man at det lønner seg å velge akkurat x[sub]2[/sub]=2s og x[sub]5[/sub]=6t, er det rett og slett bare mye oppgaveløsning som gjør det lett å se slikt?

05/04-2006 19:45

Det homogene likningssytemet er ekvivalent med

(1) x[sub]1[/sub] = 3x[sub]2[/sub]/2 + 9x[sub]5[/sub]/2,
(2) x[sub]3[/sub] = -4x[sub]5[/sub]/3,
(3) x[sub]4[/sub] = -3x[sub]5[/sub].

Så x[sub]2[/sub] og x[sub]5[/sub] kan fungere som frie variable. For at svarene skal bli "pene", ser vi av (1) at dette krever at både x[sub]2[/sub] og x[sub]5[/sub] er delelig med 2, mens (2) gir at x[sub]5[/sub] skal være delelig med 3. M.a.o. krever det at x[sub]2[/sub] og x[sub]5[/sub] er delelige med hhv. 2 og 6 for å få "pene" svar. Følgelig velges x[sub]2[/sub] = 2s og x[sub]5[/sub] = 6t.