matematikk.net

Jeg skal finne nullrommet til matrisa A Prøver da å løse Ax=0, Gausser, ender opp med Her stopper det for meg, ender bare opp med at 2x[sub]1[/sub]-3x[sub]2[/sub]=0. Både x[sub]3[/sub]=x[sub]4[/sub]=x[sub]5[/sub]=0.

Jeg får en annet svar enn deg når jeg "gausser" A. Ender opp med følgende matrise:
Herav følger at {(27, 0, -8, -18, 6), (3, 2, 0, 0, 0)} er en basis for nullrommet til A.

Da har jeg trolig gjort en feil en plass, men skjønner ikke hvordan du fant den basisen.

Mitt svar er nok korrekt ettersom jeg har kontrollert det vha. av Mathematica. Når det gjelder nullrommet til A, er det løsningsrommet til det homogene likningssystemet

-2x[sub]1[/sub] + 3x[sub]2[/sub] + 9x[sub]5[/sub] = 0,
3x[sub]3[/sub] + 4x[sub]5[/sub] = 0,
x[sub]4[/sub] + 3x[sub]5[/sub] = 0.

Ved å sette x[sub]2[/sub] = 2s og x[sub]5[/sub] = 6t, får du at løsningen av dette likningssystemet blir

(x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub], x[sub]4[/sub], x[sub]5[/sub]) = (3s +27t, 2s, -8t, -18t, 6t) = (3,2,0,0,0)s + (27,0,-8,-18,6)t.

Flott.
Bare sånn for fremtidige oppgaver jeg skal løse, hvordan ser man at det lønner seg å velge akkurat x[sub]2[/sub]=2s og x[sub]5[/sub]=6t, er det rett og slett bare mye oppgaveløsning som gjør det lett å se slikt?

Det homogene likningssytemet er ekvivalent med

(1) x[sub]1[/sub] = 3x[sub]2[/sub]/2 + 9x[sub]5[/sub]/2,
(2) x[sub]3[/sub] = -4x[sub]5[/sub]/3,
(3) x[sub]4[/sub] = -3x[sub]5[/sub].

Så x[sub]2[/sub] og x[sub]5[/sub] kan fungere som frie variable. For at svarene skal bli "pene", ser vi av (1) at dette krever at både x[sub]2[/sub] og x[sub]5[/sub] er delelig med 2, mens (2) gir at x[sub]5[/sub] skal være delelig med 3. M.a.o. krever det at x[sub]2[/sub] og x[sub]5[/sub] er delelige med hhv. 2 og 6 for å få "pene" svar. Følgelig velges x[sub]2[/sub] = 2s og x[sub]5[/sub] = 6t.