Hei. Noen som kan hjelpe meg med denne?
Anta at vi kaster en trening helt til at 6 kommer opp.
a) Hva er sannsynligheten for at vi kaster terningen n ganger?
b) Hva er det forventete antall ganger vi må kaste terningen?
Sannsynlighet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
a)
(5/6)[sup]n-1[/sup]*(1/6)
b)
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \; \frac{n}{6} \cdot (\frac{5}{6})^{n-1} \;=\; 6.[/tex]
(5/6)[sup]n-1[/sup]*(1/6)
b)
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \; \frac{n}{6} \cdot (\frac{5}{6})^{n-1} \;=\; 6.[/tex]
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
a) La N være antall ganger du må kaste terningen før du får en sekser. Sannsynligheten for ikke å få en sekser i de n - 1 første kastene er (5/6)[sup]n-1[/sup], mens sannsynligheten for å få en sekser i kast nummer n er 1/6. Altså blir
P(N=n) = (5/6)[sup]n-1[/sup]*(1/6).
b) Forventningsverdien blir
E(N) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] n*P(N=n) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] (n/6)*(5/6)[sup]n-1[/sup].
For å beregne denne rekken betrakter følgende rekke definert for │x│ < 1:
S(x) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] n*x[sup]n-1[/sup].
[symbol:integral]S(x) dx = [symbol:integral]([symbol:sum][sub]n>0[/sub] n*x[sup]n-1[/sup]) dx = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] ([symbol:integral] n*x[sup]n-1[/sup] dx) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub]x[sup]n[/sup] = x/(1 - x)
S(x) = [x/(1 - x)]' = 1/(1 - x)[sup]2[/sup]
S(5/6) = 1/(1 - 5/6)[sup]2[/sup] = 1/(1/6)[sup]2[/sup] = 1/(1/36) = 36
E(N) = S(5/6) / 6 = 36/6 = 6.
P(N=n) = (5/6)[sup]n-1[/sup]*(1/6).
b) Forventningsverdien blir
E(N) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] n*P(N=n) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] (n/6)*(5/6)[sup]n-1[/sup].
For å beregne denne rekken betrakter følgende rekke definert for │x│ < 1:
S(x) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] n*x[sup]n-1[/sup].
[symbol:integral]S(x) dx = [symbol:integral]([symbol:sum][sub]n>0[/sub] n*x[sup]n-1[/sup]) dx = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] ([symbol:integral] n*x[sup]n-1[/sup] dx) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub]x[sup]n[/sup] = x/(1 - x)
S(x) = [x/(1 - x)]' = 1/(1 - x)[sup]2[/sup]
S(5/6) = 1/(1 - 5/6)[sup]2[/sup] = 1/(1/6)[sup]2[/sup] = 1/(1/36) = 36
E(N) = S(5/6) / 6 = 36/6 = 6.