Sannsynlighet

[Gjest]

Hei. Noen som kan hjelpe meg med denne?

Anta at vi kaster en trening helt til at 6 kommer opp.
a) Hva er sannsynligheten for at vi kaster terningen n ganger?
b) Hva er det forventete antall ganger vi må kaste terningen?

[Solar Plexsus]

a)

(5/6)[sup]n-1[/sup]*(1/6)

b)

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \; \frac{n}{6} \cdot (\frac{5}{6})^{n-1} \;=\; 6.[/tex]

[Gjest]

Nok en gang, tusen takk Solar Plexsus!

[Gjest]

Er det muligheter for at du kan forklare hva du har gjort i denne oppgaven ?

[Solar Plexsus]

a) La N være antall ganger du må kaste terningen før du får en sekser. Sannsynligheten for ikke å få en sekser i de n - 1 første kastene er (5/6)[sup]n-1[/sup], mens sannsynligheten for å få en sekser i kast nummer n er 1/6. Altså blir

P(N=n) = (5/6)[sup]n-1[/sup]*(1/6).


b) Forventningsverdien blir

E(N) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] n*P(N=n) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] (n/6)*(5/6)[sup]n-1[/sup].

For å beregne denne rekken betrakter følgende rekke definert for │x│ < 1:

S(x) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] n*x[sup]n-1[/sup].

[symbol:integral]S(x) dx = [symbol:integral]([symbol:sum][sub]n>0[/sub] n*x[sup]n-1[/sup]) dx = [symbol:sum][sub]n>0[/sub] ([symbol:integral] n*x[sup]n-1[/sup] dx) = [symbol:sum][sub]n>0[/sub]x[sup]n[/sup] = x/(1 - x)

S(x) = [x/(1 - x)]' = 1/(1 - x)[sup]2[/sup]

S(5/6) = 1/(1 - 5/6)[sup]2[/sup] = 1/(1/6)[sup]2[/sup] = 1/(1/36) = 36

E(N) = S(5/6) / 6 = 36/6 = 6.