Rekurrensrelasjoner

[executer]

Finn løsningen til følgende rekurrensrelasjoner:

(a) a[sub]0[/sub] = 3, a[sub]n[/sub] = 5a[sub]n-1[/sub] + 7 for n >= 1
(b) a[sub]0[/sub] = 1, a[sub]1[/sub] = 3, a[sub]n[/sub] = 4a[sub]n-1[/sub] - 4a[sub]n-2[/sub] for n >= 2.

[Gjest]

Solar Plexus?

[Solar Plexsus]

a) Her har vi gitt den inhomogene rekursive likningen

(1) a[sub]n[/sub] - 5a[sub]n-1[/sub] = 7

Den tilhørende homogene rekursive likningen er

(2) a[sub]n[/sub] - 5a[sub]n-1[/sub] = 0

som har r - 5 = 0 som karakteristisk likning. M.a.o. er a[sub]n[/sub] = A*5[sup]n[/sup] = a[sub]n[/sub][sup]h[/sup] der A er en konstant, den generelle løsningen av (2). Dessuten har (1) en partikulærløsning a[sub]n[/sub] = B = a[sub]n[/sub][sup]p[/sup] der B er en konstant. Ifølge (1) må B - 5B = 7, så B = -7/4. Så den generelle løsningen av (1) er

a[sub]n[/sub] = a[sub]n[/sub][sup]h[/sup] + a[sub]n[/sub][sup]p[/sup] = A*5[sup]n[/sup] + 7/4.

Konstanten A kan finnes vha. initialbetingelsen a[sub]0[/sub] = 3.


b) I dette tilfellet er det en homogen rekursive likning, nemlig

(3) a[sub]n[/sub] - 4a[sub]n-1[/sub] + 4a[sub]n-2[/sub] = 0

som har r[sup]2[/sup] - 4r + 4 = (r - 2)[sup]2[/sup] = 0 som karakteristisk likning. Denne har dobbelroten r=2, som igjen betyr at den generelle løsningen av (3) er

a[sub]n[/sub] = (Cn + D)*2[sup]n[/sup]

der C og D er konstanter som kan bestemmes vha. av initialbetingelsene a[sub]0[/sub] = 1 og a[sub]1[/sub] = 3.