Anta at [tex] a_n > 0 [/tex] for alle n og at
[tex]\sigma = \lim_{n \rightarrow \infty} a^{1/n}[/tex]
Bevis at dersom [tex]\sigma \ > \ 1[/tex] eller [tex]\sigma = \infty[/tex], så divergerer rekken
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} a_n[/tex]
Benytt sammenligningstesten og kjennskapet til geometriske rekkers konvergens og divergens.
Rekke (bevis)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Vi skal vise at når a[sub]n[/sub] > 0 og
(1) [tex]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n^{\tiny 1/n} \;=\; \sigma \;>\; 1,[/tex]
så divergerer rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] a[sub]n[/sub].
Bevis: Siden a[sub]n[/sub] > 0 og funksjonen x[sup]n[/sup] med x > 0 er strengt voksende i sin verdimengde (0,[symbol:uendelig]) for alle naturlige tall n, eksisterer det et unikt tall b[sub]n[/sub] > 0 slik at a[sub]n[/sub] = b[sub]n[/sub][sup]n[/sup]. Av (1) følger at
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \sigma[/tex].
Hvis σ = [symbol:uendelig], vil lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub] a[sub]n[/sub] = [symbol:uendelig], som igjen medfører at [symbol:sum][sub]n>0[/sub] a[sub]n[/sub] = [symbol:uendelig].
Dersom σ er et endelig tall, finnes det et tall θ > 0 slik at σ = 1 + θ. Ved å la k = 1 + θ/2 får vi at σ/k > 1, som igjen impliserer at
[tex](2) \;\; \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{k^n} \;=\; \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{b_n^n}{k^n} \;=\; \lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{b_n}{k})^n \;=\; \lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{\sigma}{k})^n \;=\; \infty.[/tex]
I.o.m. at k > 1, vil den geometriske rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] k[sup]n[/sup] divergere. Dermed gir (2) og sammenlikningstesten for rekker at [symbol:sum][sub]n>0[/sub] a[sub]n[/sub] også divergerer.
(1) [tex]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n^{\tiny 1/n} \;=\; \sigma \;>\; 1,[/tex]
så divergerer rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] a[sub]n[/sub].
Bevis: Siden a[sub]n[/sub] > 0 og funksjonen x[sup]n[/sup] med x > 0 er strengt voksende i sin verdimengde (0,[symbol:uendelig]) for alle naturlige tall n, eksisterer det et unikt tall b[sub]n[/sub] > 0 slik at a[sub]n[/sub] = b[sub]n[/sub][sup]n[/sup]. Av (1) følger at
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \sigma[/tex].
Hvis σ = [symbol:uendelig], vil lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub] a[sub]n[/sub] = [symbol:uendelig], som igjen medfører at [symbol:sum][sub]n>0[/sub] a[sub]n[/sub] = [symbol:uendelig].
Dersom σ er et endelig tall, finnes det et tall θ > 0 slik at σ = 1 + θ. Ved å la k = 1 + θ/2 får vi at σ/k > 1, som igjen impliserer at
[tex](2) \;\; \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{k^n} \;=\; \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{b_n^n}{k^n} \;=\; \lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{b_n}{k})^n \;=\; \lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{\sigma}{k})^n \;=\; \infty.[/tex]
I.o.m. at k > 1, vil den geometriske rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] k[sup]n[/sup] divergere. Dermed gir (2) og sammenlikningstesten for rekker at [symbol:sum][sub]n>0[/sub] a[sub]n[/sub] også divergerer.
-
Christer
Åi, takk, var ganske mye vanskeligere enn jeg hadde trodd, men det er kanskje sånn det beviset der lettest kan gjøres?
Del to av oppgaven går ut på å vurdere om rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty (2 \ + \ \frac{1}{n})^{-n}[/tex] konvergerer eller divergerer.
Jeg har problemer med å omskrive denne til noe "lettere", for da tenkte jeg at jeg lettere ville kunne vurdere den. Iom at det er (a+b)[sup]n[/sup] kan jeg vel ikke bare trekke ut a[sup]n[/sup] + b[sup]n[/sup] heller. Eller er 2 så uvesentlig i denne rekken at jeg bare kan se på (1/n)[sup]-n[/sup]?
Del to av oppgaven går ut på å vurdere om rekken [tex]\sum_{n=1}^\infty (2 \ + \ \frac{1}{n})^{-n}[/tex] konvergerer eller divergerer.
Jeg har problemer med å omskrive denne til noe "lettere", for da tenkte jeg at jeg lettere ville kunne vurdere den. Iom at det er (a+b)[sup]n[/sup] kan jeg vel ikke bare trekke ut a[sup]n[/sup] + b[sup]n[/sup] heller. Eller er 2 så uvesentlig i denne rekken at jeg bare kan se på (1/n)[sup]-n[/sup]?
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Nå er 2[sup]n[/sup] < (2 + 1/n)[sup]n[/sup] for alle naturlige tall n, som betyr at
[tex]0 \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} (2 \:+\: \frac{1}{n})^{-n} \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \;=\; 1. [/tex]
Altså konvergerer rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] (2 + 1/n)[sup]-n[/sup].
[tex]0 \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} (2 \:+\: \frac{1}{n})^{-n} \;<\; \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \;=\; 1. [/tex]
Altså konvergerer rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] (2 + 1/n)[sup]-n[/sup].
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
[symbol:sum][sub]n>0[/sub] (1/2)[sup]n[/sup] er en geometrisk rekke med kvotient lik 1/2. Vi vet at for en geometrisk rekke med en kvotient k med absoluttverdi mindre enn 1 er
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} k^n \;=\; \frac{k}{1 \:-\: k}. [/tex]
I dette tilfellet er altså k = 1/2, hvilket betyr at
[symbol:sum][sub]n>0[/sub] (1/2)[sup]n[/sup] = 1/2 / (1 - 1/2) = 1/2 / 1/2 = 1.
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} k^n \;=\; \frac{k}{1 \:-\: k}. [/tex]
I dette tilfellet er altså k = 1/2, hvilket betyr at
[symbol:sum][sub]n>0[/sub] (1/2)[sup]n[/sup] = 1/2 / (1 - 1/2) = 1/2 / 1/2 = 1.