Hyperbolske fuksjoner og summer

[ElCap]

Hvorfor er:
[symbol:sum] (x^n/(2n!),0, [symbol:uendelig] =cosh [symbol:rot] x

[Gjest]

Er du sikker på at du har skrevet av rett?

jeg bytter ut x med 5
cosh √ 5 ~ 4.73167
Σ (5^n/(2n!),0,2 = 9.25
dersom jeg summerer videre så øker verdien.

[Solar Plexsus]

Det skal stå (2n)! i nevneren, ikke (2n!). Så det korrekte uttrykket er

[tex](1) \; \cosh \, \sqrt{x} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(2n)!}.[/tex]

Beviset for at formelen (1) stemmer er relativt enkelt: Bruk Maclaurinrekka til e[sup]x[/sup] i kombinasjon med definisjonen av cosh, dvs.

[tex]e^x \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}[/tex]

som medfører at

[tex]\cosh \, \sqrt{x}[/tex]

[tex]= \; \frac{e^{\sqrt{x}} \:+\: e^{-\sqrt{x}}}{2}[/tex]

[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(sqrt{x})^n}{n!} \:+\: \frac{(-sqrt{x})^n}{n!}[/tex]

[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(sqrt{x})^n}{n!}(1^n \:+\: (-1)^n)[/tex]

[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(sqrt{x})^{2n}}{(2n)!}(1 \:+\: (-1)^{2n})\;\;[/tex](NB: 1 + (-1)[sup]n[/sup] = 0 når n er et oddetall)

[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\,(\sqrt{x})^2\,)^n}{(2n)!}(1 \:+\: 1)[/tex]

[tex]=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(2n)!}\, .[/tex]