Hvorfor er:
[symbol:sum] (x^n/(2n!),0, [symbol:uendelig] =cosh [symbol:rot] x
Hyperbolske fuksjoner og summer
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Er du sikker på at du har skrevet av rett?
jeg bytter ut x med 5
cosh √ 5 ~ 4.73167
Σ (5^n/(2n!),0,2 = 9.25
dersom jeg summerer videre så øker verdien.
jeg bytter ut x med 5
cosh √ 5 ~ 4.73167
Σ (5^n/(2n!),0,2 = 9.25
dersom jeg summerer videre så øker verdien.
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Det skal stå (2n)! i nevneren, ikke (2n!). Så det korrekte uttrykket er
[tex](1) \; \cosh \, \sqrt{x} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(2n)!}.[/tex]
Beviset for at formelen (1) stemmer er relativt enkelt: Bruk Maclaurinrekka til e[sup]x[/sup] i kombinasjon med definisjonen av cosh, dvs.
[tex]e^x \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}[/tex]
som medfører at
[tex]\cosh \, \sqrt{x}[/tex]
[tex]= \; \frac{e^{\sqrt{x}} \:+\: e^{-\sqrt{x}}}{2}[/tex]
[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(sqrt{x})^n}{n!} \:+\: \frac{(-sqrt{x})^n}{n!}[/tex]
[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(sqrt{x})^n}{n!}(1^n \:+\: (-1)^n)[/tex]
[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(sqrt{x})^{2n}}{(2n)!}(1 \:+\: (-1)^{2n})\;\;[/tex](NB: 1 + (-1)[sup]n[/sup] = 0 når n er et oddetall)
[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\,(\sqrt{x})^2\,)^n}{(2n)!}(1 \:+\: 1)[/tex]
[tex]=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(2n)!}\, .[/tex]
[tex](1) \; \cosh \, \sqrt{x} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(2n)!}.[/tex]
Beviset for at formelen (1) stemmer er relativt enkelt: Bruk Maclaurinrekka til e[sup]x[/sup] i kombinasjon med definisjonen av cosh, dvs.
[tex]e^x \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}[/tex]
som medfører at
[tex]\cosh \, \sqrt{x}[/tex]
[tex]= \; \frac{e^{\sqrt{x}} \:+\: e^{-\sqrt{x}}}{2}[/tex]
[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(sqrt{x})^n}{n!} \:+\: \frac{(-sqrt{x})^n}{n!}[/tex]
[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(sqrt{x})^n}{n!}(1^n \:+\: (-1)^n)[/tex]
[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(sqrt{x})^{2n}}{(2n)!}(1 \:+\: (-1)^{2n})\;\;[/tex](NB: 1 + (-1)[sup]n[/sup] = 0 når n er et oddetall)
[tex]= \; \frac{1}{2} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\,(\sqrt{x})^2\,)^n}{(2n)!}(1 \:+\: 1)[/tex]
[tex]=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(2n)!}\, .[/tex]