I firkanten ABCD er AB= 7cm, BC= 5 cm, CD=7cm, vinkel ABC= 50 grader og vinkel CAD=60 grader
a) Beregn AD og diagonalene.
b) Beregn de ukjente vinklene i firkanten.
c) Beregn firkantens areal.
mvh.
Appy
trigometri
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
hei, kan noen hjelpe meg med løsning på denne.
I firkanten ABCD er AB= 7cm, BC= 5 cm, CD=7cm, vinkel ABC= 50 grader og vinkel CAD=60 grader
a) Beregn AD og diagonalene.
b) Beregn de ukjente vinklene i firkanten.
c) Beregn firkantens areal.
mvh.
Appy
I firkanten ABCD er AB= 7cm, BC= 5 cm, CD=7cm, vinkel ABC= 50 grader og vinkel CAD=60 grader
a) Beregn AD og diagonalene.
b) Beregn de ukjente vinklene i firkanten.
c) Beregn firkantens areal.
mvh.
Appy
Her får vi stor bruk for cosinussetningen og sinussetningen. Jeg har ikke mulighet til å gjøre noe av det viktigste her på forumet, men
om du skal løse en slik oppgave: TEGN FIGUR og sett på de kjente opplysningene
a) Beregner AD og diagonalene AC og BD.
[tex](AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 - 2(AB)(BC)cos(ABC)[/tex]
[tex](AC)^2 = 7^2 + 5^2 - 2*7*5*cos(50^\circ) = 74 - 70cos(50^\circ) \approx 29 \Rightarrow \underline{AC = \sqrt(29) \approx 5,385} [/tex]
Jeg gjør sjelden oppgaver i rekkefølgen a) via b) til c)... Av og til må jeg løse noe av b) for å enklere (for meg) finne svar i a). Det gjør jeg nå:
Finner først vinkelen ADC og deretter vinkelen ACD, for å videre benytte cosinussetningen til å finne AD:
Sinussetningen gir oss nå:
[tex] \frac{CD}{AC} = \frac{sin(CAD)}{sin(ADC)} \Rightarrow sin(ADC) = \frac{ACsin(CAD)}{CD} \Rightarrow ADC = arcsin (\frac{ \sqrt (29)*sin(60^\circ)}{7}) = arcsin(\frac{\sqrt(87)}{14}) \approx 41,78^\circ[/tex]
Nå blir [tex]ACD = 180^\circ - ADC - CAD \approx 180^\circ - 41,78^\circ - 60^\circ = 78,22^\circ[/tex]
Vi finner nå AD vha cosinussetningen:
[tex](AD)^2 = (CD)^2 + (AC)^2 - 2(CD)(AC)cos(ACD)[/tex]
[tex](AD)^2 = 7^2 + \sqrt(29)^2 - 2*7*\sqrt(29)cos(78,22^\circ) = 78 - 14\sqrt(29)cos(78,22^\circ) \approx 62,608 \Rightarrow \underline{AD \approx \sqrt(62,608) \approx 7,913}[/tex].
Nå mangler den siste diagonalen, BD:
Finner først vinkelen BAC:
Sinussetningen gir oss
[tex]\frac{BC}{AC} = \frac{sin(BAC)}{sin(ABC)} \Rightarrow sin(BAC) = \frac{BCsin(ABC)}{AC} \Rightarrow BAC = arcsin( \frac{5sin(50^\circ)}{\sqrt(29)}) \approx 45,34^\circ[/tex].
Nå har vi vinkelen [tex]BAD = BAC + CAD = 45,34^\circ + 60^\circ = 105,34^\circ[/tex].
Vi bruker cosinussetningen til å finne diagonalen BD:
[tex](BD)^2 = (AD)^2 + (AB)^2 - 2(AD)(AB)cos(BAD)[/tex]
[tex](BD)^2 = (\sqrt(62,608))^2 + 7^2 - 2*(\sqrt(62,608))*7*cos(105,34^\circ) \approx 111,608-110,775*cos(105,34^\circ) \approx 140,913 [/tex]
[tex]\Rightarrow \underline {BD \approx \sqrt(140,913) \approx 11,87}[/tex]
b) Beregner de ukjente vinklene i firkanten.
Vi har faktisk funnet alle vinklene utenom én: ACB.
[tex]ACB = 180^\circ - BAC - ABC \approx 180^\circ - 45,34^\circ - 50^\circ = 84,66^\circ[/tex]
Nå kan vi skrive opp vinklene i firkanten, ikke inkludert vinkler til diagonaler:
[tex]\angle A = 105,34^\circ[/tex]
[tex]\angle B = 50^\circ[/tex] (gitt)
[tex]\angle C = 162,88^\circ[/tex]
[tex]\angle D = 41,78^\circ[/tex]
Summen av alle vinklene er [tex]360^\circ[/tex], noe som indikerer at dette stemmer.
c) Beregner firkantens areal. Vi beregner de to trekantenes areal og summerer disse:
[tex]\triangle ABC:[/tex]
[tex]\frac{1}{2}(AB)(BC)sin(ABC) = \frac{1}{2}*7*5*sin(50) \approx 13,406[/tex]
[tex]\triangle ACD:[/tex]
[tex]\frac{1}{2}(AC)(AD)sin(CAD) \approx \frac{1}{2}*\sqrt(29)*\sqrt(62,608)*sin(60) \approx 18,451[/tex].
Firkantens areal blir
[tex]13,406 + 18,451 = \underline {31,857}[/tex]
om du skal løse en slik oppgave: TEGN FIGUR og sett på de kjente opplysningene
a) Beregner AD og diagonalene AC og BD.
[tex](AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 - 2(AB)(BC)cos(ABC)[/tex]
[tex](AC)^2 = 7^2 + 5^2 - 2*7*5*cos(50^\circ) = 74 - 70cos(50^\circ) \approx 29 \Rightarrow \underline{AC = \sqrt(29) \approx 5,385} [/tex]
Jeg gjør sjelden oppgaver i rekkefølgen a) via b) til c)... Av og til må jeg løse noe av b) for å enklere (for meg) finne svar i a). Det gjør jeg nå:
Finner først vinkelen ADC og deretter vinkelen ACD, for å videre benytte cosinussetningen til å finne AD:
Sinussetningen gir oss nå:
[tex] \frac{CD}{AC} = \frac{sin(CAD)}{sin(ADC)} \Rightarrow sin(ADC) = \frac{ACsin(CAD)}{CD} \Rightarrow ADC = arcsin (\frac{ \sqrt (29)*sin(60^\circ)}{7}) = arcsin(\frac{\sqrt(87)}{14}) \approx 41,78^\circ[/tex]
Nå blir [tex]ACD = 180^\circ - ADC - CAD \approx 180^\circ - 41,78^\circ - 60^\circ = 78,22^\circ[/tex]
Vi finner nå AD vha cosinussetningen:
[tex](AD)^2 = (CD)^2 + (AC)^2 - 2(CD)(AC)cos(ACD)[/tex]
[tex](AD)^2 = 7^2 + \sqrt(29)^2 - 2*7*\sqrt(29)cos(78,22^\circ) = 78 - 14\sqrt(29)cos(78,22^\circ) \approx 62,608 \Rightarrow \underline{AD \approx \sqrt(62,608) \approx 7,913}[/tex].
Nå mangler den siste diagonalen, BD:
Finner først vinkelen BAC:
Sinussetningen gir oss
[tex]\frac{BC}{AC} = \frac{sin(BAC)}{sin(ABC)} \Rightarrow sin(BAC) = \frac{BCsin(ABC)}{AC} \Rightarrow BAC = arcsin( \frac{5sin(50^\circ)}{\sqrt(29)}) \approx 45,34^\circ[/tex].
Nå har vi vinkelen [tex]BAD = BAC + CAD = 45,34^\circ + 60^\circ = 105,34^\circ[/tex].
Vi bruker cosinussetningen til å finne diagonalen BD:
[tex](BD)^2 = (AD)^2 + (AB)^2 - 2(AD)(AB)cos(BAD)[/tex]
[tex](BD)^2 = (\sqrt(62,608))^2 + 7^2 - 2*(\sqrt(62,608))*7*cos(105,34^\circ) \approx 111,608-110,775*cos(105,34^\circ) \approx 140,913 [/tex]
[tex]\Rightarrow \underline {BD \approx \sqrt(140,913) \approx 11,87}[/tex]
b) Beregner de ukjente vinklene i firkanten.
Vi har faktisk funnet alle vinklene utenom én: ACB.
[tex]ACB = 180^\circ - BAC - ABC \approx 180^\circ - 45,34^\circ - 50^\circ = 84,66^\circ[/tex]
Nå kan vi skrive opp vinklene i firkanten, ikke inkludert vinkler til diagonaler:
[tex]\angle A = 105,34^\circ[/tex]
[tex]\angle B = 50^\circ[/tex] (gitt)
[tex]\angle C = 162,88^\circ[/tex]
[tex]\angle D = 41,78^\circ[/tex]
Summen av alle vinklene er [tex]360^\circ[/tex], noe som indikerer at dette stemmer.
c) Beregner firkantens areal. Vi beregner de to trekantenes areal og summerer disse:
[tex]\triangle ABC:[/tex]
[tex]\frac{1}{2}(AB)(BC)sin(ABC) = \frac{1}{2}*7*5*sin(50) \approx 13,406[/tex]
[tex]\triangle ACD:[/tex]
[tex]\frac{1}{2}(AC)(AD)sin(CAD) \approx \frac{1}{2}*\sqrt(29)*\sqrt(62,608)*sin(60) \approx 18,451[/tex].
Firkantens areal blir
[tex]13,406 + 18,451 = \underline {31,857}[/tex]