matematikk.net

Bestem stigningstallet til to tangenter til kurven
x = sin t; y = sin 2t
i origo.

Dette skjønner jeg virkelig ingenting av. Hvorfor er det i det hele tatt TO tangenter til kurven i origo?
Jeg har funnet at en tangent kan være

x= t
y = 2t

og mener ut fra dette at stigningstallet må være 2, men TO tangenter? Hvorfor? Hva gjør jeg galt?

Dette var rart. Et punkt kan vel bare ha en tangent??
Men kurven for dette uttrykket er en sløyfe med sentrum i origo. Så om dette gir origo to tangenter ???

I alle fall er stigningstallet til en tangent det deriverte utrykket, innsatt x,y verdier.

Parameter derivasjon: Y'=dy/dx. Der dy=cos(t) og dx=2cos(2t)
husker ikke helt, men mener du må sette inn t-verdiene for å finne stigningstallet.

Vet ikke om det hjalp, ble ialle fall forvirret selv

hm... hvis dette er en sløyfe, så burde den vel kanskje ha to stigningstall? en fra øvre venstre til nedre høyre "hjørne" og en fra øvre høyre til nedre venstre? Hvis jeg ser den riktig for meg? Men hvordan i all verden finner man dem??

En parametrisert kurve kan ha flere tangenter i et punkt. I dette tilfellet krysser kurven seg selv i origo. Kurven har omtrent form som tegnet for uendelig, altså [symbol:uendelig].

I origo er sint = sin2t = 0, dvs. t = 0 eller t = [symbol:pi]. Stigningstallet s(t)er i punktet (sint,sin2t) er

s(t) = dy/dt / dx/dt = 2cos2t / cost.

Så de to tangentene i origo har stigningstall s(0) = 2 og s([symbol:pi]) = -2. M.a.o. er de to tangentene i origo gitt ved likningene y = 2x og y = -2x.

Så, er da svaret mitt, at stigningstallet = 2, en av løsningene?
(Det var jeg som skreiv hovedinnlegget.)

Det stemmer at du har funnet den ene av de to løsningene.

PS. Hvis du har problemer med å tegne kurven til denne parametriserte funksjonen, kan du uttrykke den på formen f(x,y) = 0. Da får du at y[sup]2[/sup] - 4x[sup]2[/sup] + 4x[sup]4[/sup] = 0, som igjen innebærer at

y = [symbol:plussminus]2x*kv.rot(1 - x[sup]2[/sup]) der -1 ≤ x ≤ 1.

Finnes det noen liknende måte å finne den andre løsningen på da? Eller må det gjøres på den måten du gjorde over?

Jeg vil tro at det er meningen at du skal gjøre finne løsningen på den måten jeg gjorde i mitt løsningsforslag. Noe av poenget med å introdusere parametriserte kurver gitt ved likningene x=f(t), y=g(t) er å vise at det finnes kurver der y nødvendigvis ikke er en funksjon av x (som i dette tilfellet). Dermed kan slike kurver ha punkter med flere tangenter. Og som regel er enkleste måte å bestemme stigningstallet til tangenten(e) i et punkt på en parametrisk kurve, å anvende formelen g'(t)/f'(t).

Åh... Ok. Tusen takk for hjelpa iallefall