Derivasjon/funksjon/fortegnslinje-problem

[kaos]

Hei.
Jeg får rett og slett ikke til denne oppgaven her.

"Avgjør hvor funksjonen vokser og hvor den avtar, og finn eventuelle toppunkter og bunnpunkter."
f(x) = -1/3x^3 + 1/2x^2 + 2x + 1
"

Her skjønner jeg at jeg skal finne den deriverte. Det har jeg gjort. Men jeg ender opp med en annengradslikning, og vet ikke hvordan jeg kommer meg videre her.. Jeg skal lage en fortegnslinje.
Noen som kan forklare meg?

[Andrina]

f'(x)=-x^2+x+2

Finner eventuelle topp- og bunnpunkter ved å løse f'(x)=0

-x^2+x+2=0

x^2-x-2=0

x=1/2+kv.rot(1/4+2) og x=1/2-kv.rot(1/4+2)

x=2 eller x=-1

Jeg ville sjekke med f''(x) om det foreligger et topp- eller bunnpunkt, men går også an med fortegnsskjema...

[kaos]

x=1/2+kv.rot(1/4+2) og x=1/2-kv.rot(1/4+2)


Hvorfor i all verden er det dette?

[Solar Plexsus]

Kv.rot(1/4 + 2) er kvadratroten av 1/4 pluss 2 som er 9/4 = (3/2)[sup]2[/sup]. Altså er

kv.rot(1/4 + 2) = kv.rot(9/4) = 3/2.

Dermed blir

x = 1/2 + 3/2 = 2 eller x = 1/2 - 3/2 = -1.

[kaos]

Jeg kjørte inn hele dritten som ABC i kalkisen og fikk samme svar.
Skal likevel gå gjennom og prøve å forstå hva du har gjort her..

Uansett, neste oppgave er litt verre. Den er nemlig tredjegrad.

g'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 8x

Her skal jeg igjen finne topp og bunnpunkter. Men for å kunne faktorisere, må jeg ha en x1 og x2...? Jeg vet ikke hva jeg skal gjøre herfra, og finner ikke noe eksempel noe sted.

[Solar Plexsus]

Legg merke til at

(1) g'(x) = 4x[sup]3[/sup] - 6x[sup]2[/sup] + 8x = 2x(2x[sup]2[/sup] - 3x + 4).

Altså er g'(x) = 0 når x = 0 eller 2x[sup]2[/sup] - 3x + 4 = 0. Siden 2x[sup]2[/sup] - 3x + 4 > 0 for alle reelle verdier av x, følger det av (1) at g'(x) < 0 når x < 0, g'(x) = 0 når x = 0 og g'(x) > 0 når x > 0. Dette betyr at g kun har et ekstremalpunkt, nemlig minimalpunktet (0,g(0)).

[kaos]

Sorry, men det der forstod jeg virkelig ikke. Dessuten er det ikke helt rett i forhold til fasiten her... Fasiten sier:

Funksjonen vpkser i [0,2] og i [4, --->
Bunnpunkt (4,0) og (0,0)
Toppunkt (2,4)

Uff, nå er jeg forvirra.

Altså er g'(x) = 0 når x = 0 eller 2x2 - 3x + 4 = 0 <- Hvorfor er x = 0?

[cidd]

Du forstår at g'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 8x = 2x(2x^2 - 3x + 4) ?
Topp- og Bunnpunkter er stasjonære punkter, det vil så at stigningstallet er 0 (grafen stiger jo ikke eller synker ikke i et topp/bunnpunkt).

Siden den deriverte er et uttrykk for stigningstallet, må vi sette den deriverte lik 0. Slik:

2x(2x^2 - 3x + 4) = 0

Her ser vi at enten må 2x = 0, eller så må (2x^2 - 3x + 4) = 0. (uansett hva du ganger 0 med, får vi null! a*0 = 0.

For at 2x = 0, må x = 0: 2*0 = 0.
for at 2x^2 - 3x + 4 = 0 må x = Ingen Løsning (grafen skjærer aldri x-aksen.

Med andre ord har likningen kun ett stasjonært punkt, og det er (0,g(0)).

Det stemmer ikke med fasiten din, mao er sjangsen stor for at du har derivert feil og latt meg gjøre en haug med dritt til ingen nytte Prøv uansett å forstå hva jeg har gjort, det vil hjelpe deg i andre oppgaver hvor du har regnet ut den deriverte korrekt.

[Solar Plexsus]

Ut fra fasitsvaret som angir ekstremalpunktene til g, må

g(x) = x[sup]2[/sup](x - 4)[sup]2[/sup]/4.

Herav følger at

g'(x) = x[sup]3[/sup] - 6x[sup]2[/sup] + 8x,

noe som ikke stemmer overens med den deriverte av g som signaturen "Kaos" oppgir.

[kaos]

Okey takk folkens! Jeg skal gå gjennom og se hva jeg har gjort feil.

Jeg gikk videre på derivasjon av e jeg... og er litt stuck igjen her..

Deriver: g (x) = e^x / x^2

Her klarer jeg jeg å komme meg frem til e^x X x^2 - e^x X 2x / (x^2)^2

Fasiten har sluttført derivasjonen til: x-2/x^3 (hele brøken) X e^x.

Jeg skjønner ikke hvordan de bare kan sette e^x der, og jeg skjønner ikke hvordan de kommer frem til x^3 i nevner sånn uten videre.

[Solar Plexsus]

Du har helt riktig kommet fram til at den deriverte er

[e[sup]x[/sup]*x[sup]2[/sup] - e[sup]x[/sup]*(2x)] / (x[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]

= x*e[sup]x[/sup](x - 2) / x[sup]4[/sup] (i nevneren er x og e[sup]x[/sup] felles faktorer)

= e[sup]x[/sup](x - 2) / x[sup]3[/sup] (forkorter i teller og nevner med x)

som er fasitsvaret.

[kaos]

Se på det her.
To helt like oppgaver, men med to forskjellige fasiter!

h(x) = (lnx)^3
h'(x) = 3(lnx)^2 / x


h (x) = (lnx)^4
h'(x) = 4(lnx)^3 / x (MIN LØSNING ETTER Å HA FULGT DET FØRSTE EKSEMPLET)

Fasitens løsning: h'(x) = 4/x X (lnx)^3


Hvorfor kommer fasiten frem til to forskjellige svar, når utgangspunktet er likt?!?!??!

[Toppris]

Se på det her.
To helt like oppgaver, men med to forskjellige fasiter!

h(x) = (lnx)^3
h'(x) = 3(lnx)^2 / x


h (x) = (lnx)^4
h'(x) = 4(lnx)^3 / x (MIN LØSNING ETTER Å HA FULGT DET FØRSTE EKSEMPLET)

Fasitens løsning: h'(x) = 4/x X (lnx)^3


Hvorfor kommer fasiten frem til to forskjellige svar, når utgangspunktet er likt?!?!??!

h'(x) = 4/x X (lnx)^3
Hva mener du med den store X'en? Dersom det er et gangetegn du mener så er uttrykkene helt like.

[tex]\frac{4}{x}ln(x)^3=\frac{4ln(x)^3}{x}=4\frac{ln(x)^3}{x}[/tex]

[kaos]

Jeg mener at X er gangetegn ja.

Jeg ser ikke hvorfor de er like.

[kaos]

Har derivert og skal forenkle følgende:

2x X (lnx)^2 + x^2 X 2lnx/x

Kan vel sette 2nx og x utenfor parentes? Etter det vet jeg ikke..