Absolutt konvergens

[Gjest]

Skal avgjøre om rekken konvergerer, konvegerer absolutt eller divergerer.
[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n {\pi}^n}[/tex]

Her tenkte jeg at jeg kunne bruke Lebnis' kriterium, og fant da ut at den konvergerte. Men om den da konvergerte absolutt eller ei vet jeg ikke, kom til [tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n {\pi}^n}[/tex], da hadde jeg tatt tallverdien til rekken. Man kan ikke konkludere med at rekken konvegerer absolutt hvis den konvergerer?

[Solar Plexsus]

Når det gjelder uendelige rekker, er det slik at absolutt konvergens alltid impliserer konvergens, men den motsatte implikasjonen ikke nødvendigvis gjelder. Følgelig kan du i dette tilfellet der du har vist at rekken er konvergent, ikke konkludere med at den er absolutt konvergent.

Her ville det enkleste være å vise at den rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] 1/(n[symbol:pi][sup]n[/sup]) konvergerer, f.eks. ved å sammenlikne med den konvergente rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] 1/[symbol:pi][sup]n[/sup]. Ergo må også rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] (-1)[sup]n[/sup]/(n[symbol:pi][sup]n[/sup]) være konvergent.

[Gjest]

Hvordan har det seg at du vil sammenlikne med rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub] 1/[symbol:pi][sup]n[/sup]?

[Gjest]

Glem det, skjønte det nå. Takk skal du ha!