Find the smallest integer n that ensures that the partial sum Sn, approximates the sum S of the series with error less than 0,001 in absolute value
[tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}[/tex]
Boka gir inget eksempel på dette, men presenterer teoremet |S - Sn| < |a[sub]n+1[/sub]|, så jeg er ikke helt med.
"<" skal være større eller lik.
Estimere feil (rekker)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Om det er til noe hjelp:
[tex]\sum_{n=1}^{10}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.22252068599243[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{100}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.26463599391075[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{1000}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.26911075320712[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{10000}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.26956050520857[/tex]
Kalkulert med v-200
[tex]\sum_{n=1}^{10}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.22252068599243[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{100}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.26463599391075[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{1000}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.26911075320712[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^{10000}\ (-1)^{n-1} \ \frac{n}{n^2 +1}=0.26956050520857[/tex]
Kalkulert med v-200
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Du må bruke det teoremet du nevner, dvs.
(1) |S - S[sub]n[/sub]| ≤ |a[sub]n+1[/sub]|
For hvis
(2) |a[sub]n+1[/sub]| ≤ 0,001,
følger det av (1) at
(3) |S - S[sub]n[/sub]| ≤ 0,001.
Ulikheten (2) er ekvivalent med
(n+1) / [(n+1)[sup]2[/sup] + 1] ≤ 1/1000
1000*(n + 1) ≤ (n+1)[sup]2[/sup] + 1
1000n + 1000 ≤ n[sup]2[/sup] + 2n + 2
n(n - 998) ≥ 998
n ≥ 999.
Så svaret på oppgaven blir n = 999.
(1) |S - S[sub]n[/sub]| ≤ |a[sub]n+1[/sub]|
For hvis
(2) |a[sub]n+1[/sub]| ≤ 0,001,
følger det av (1) at
(3) |S - S[sub]n[/sub]| ≤ 0,001.
Ulikheten (2) er ekvivalent med
(n+1) / [(n+1)[sup]2[/sup] + 1] ≤ 1/1000
1000*(n + 1) ≤ (n+1)[sup]2[/sup] + 1
1000n + 1000 ≤ n[sup]2[/sup] + 2n + 2
n(n - 998) ≥ 998
n ≥ 999.
Så svaret på oppgaven blir n = 999.
-
Zimmerman
Jepp, jeg klarte det faktisk selv, men jeg bare prøvde meg frem med n-verdier da, mer elegant og rett den måten der.
Har nå et annet spørsmål, skal "determine the values of x for which the serie converge abs., -condit. or diverge.
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{2^n ln(n)}[/tex]
Bruker her forholdstesten,
[tex]\rho = \lim_{n \rightarrow \infty}\ \frac{x^{n+1} \ 2^n \ ln(n)}{x^n \ 2^{n+1} \ ln(n+1)} = \lim_{n \rightarrow \infty} |x| \ \frac{ln(n)}{2ln(n+1)}[/tex]
Hva gjør jeg egentlig nå, er det feil?
Har nå et annet spørsmål, skal "determine the values of x for which the serie converge abs., -condit. or diverge.
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{2^n ln(n)}[/tex]
Bruker her forholdstesten,
[tex]\rho = \lim_{n \rightarrow \infty}\ \frac{x^{n+1} \ 2^n \ ln(n)}{x^n \ 2^{n+1} \ ln(n+1)} = \lim_{n \rightarrow \infty} |x| \ \frac{ln(n)}{2ln(n+1)}[/tex]
Hva gjør jeg egentlig nå, er det feil?
-
Zimmerman
Fant ut at det var absolutt konvergens for -2 < x < 2, men må sjekke for x = [symbol:plussminus]2.
For x=2 fant jeg greit ut at det ble divergens (sammenliknet 1/ln(n) med 1/n), men for x=-2 vet jeg ikke, står med en rekke jeg ikke får til å vurdere om divergerer eller konvergerer.
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{(-2)^n}{2^n \ ln(n)}[/tex]
For x=2 fant jeg greit ut at det ble divergens (sammenliknet 1/ln(n) med 1/n), men for x=-2 vet jeg ikke, står med en rekke jeg ikke får til å vurdere om divergerer eller konvergerer.
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{(-2)^n}{2^n \ ln(n)}[/tex]
-
blurp
se om absoluttverdien av rekken har alle ledd over 0
om den er minkende
og om da også lim (1/ln n) = 0 (når n går mot [tex]\infty [/tex])
da vil du se at den konvergerer betinget
om den er minkende
og om da også lim (1/ln n) = 0 (når n går mot [tex]\infty [/tex])
da vil du se at den konvergerer betinget
-
Gjest
Hvorfor absoluttverdien, i boka mi står det ikke det, står bare a[sub]n[/sub]>(eller lik)0, for n=1, 2, 3..
-
blurp
jepp er nok riktig det, å ta absoluttverdien funker i dette tilfellet da, men er nok ikke den generelle regelen ...
egentlig er det vel noe som at dersom testene gjelder for an
så har en rekke med [tex](-1)^{n-1}[/tex] an betinget konvergens
men absoluttverdien til [tex]\sum_{n=2}^{\infty} \: \frac{(-2)^n}{2^n ln(n)}[/tex]
blir da rekken [tex]\sum_{n=2}^{\infty} \: \frac{2^n}{2^n ln(n)}[/tex]
som du må teste at an > 0 for alle n i denne rekken og alt det andre.
tror hvertfall det skal være riktig...
egentlig er det vel noe som at dersom testene gjelder for an
så har en rekke med [tex](-1)^{n-1}[/tex] an betinget konvergens
men absoluttverdien til [tex]\sum_{n=2}^{\infty} \: \frac{(-2)^n}{2^n ln(n)}[/tex]
blir da rekken [tex]\sum_{n=2}^{\infty} \: \frac{2^n}{2^n ln(n)}[/tex]
som du må teste at an > 0 for alle n i denne rekken og alt det andre.
tror hvertfall det skal være riktig...