Konvergensradius

[Tollev]

Jeg skal finne center of convergence, convergence radius og convergence interval.

[tex]\sum_{n=0}^\infty n^3 \ (2x-3)^n[/tex]
[tex]L = \lim_{n\rightarrow\infty} | \ \frac{a_{n+1}}{a_n}| \ = \ \lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac {(n+1)^3 \ (2x-3)^{n+1}}{n^3 \ (2x-3)^n} = \ 2x-3 \ \lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac {(n+1)^3}{n^3}[/tex]

Center of convergence blir 3/2.

[tex]\frac {1}{R}= L = \lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac {(n+1)^3}{n^3} = 1[/tex],

og konvergensradiusen blir 1, men fasiten sier 1/2, hva har jeg gjort galt?

[Solar Plexsus]

Utregningen din gir at rekken konvergerer når |2x - 3| < 1, som er ekvivalent med |x - 3/2| < 1/2. Så rekkas konvergensradiusen blir 1/2.

[Tollev]

Så man ikke lese det direkte ut fra utregningen av grensen?
Jeg gjorde nemlig det for en annen oppgave [tex]\sum_{n=0}^\infty \ \frac{x^{2n}}{\sqrt {2n+1}}[/tex].

[Solar Plexsus]

Gitt rekken [symbol:sum]a[sub]n[/sub]*(bx - c)[sup]n[/sup] der b[symbol:ikke_lik]0 og c er konstanter. Anta at lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub]|a[sub]n+1[/sub]/a[sub]n[/sub]| = L eksisterer. I så fall får vi at rekken konvergerer når |bx - c|*L < 1, i.e. |x - c/b| < 1/(L|b|). M.a.o. er konvergenssentrum c/b og konvergensradien R = (L|b|)[sup]-1[/sup]. Dette innebærer at formelen R = 1/L kun gjelder når |b| = 1.

[Gjest]

Akkurat, greit.
Hvordan har det seg at konvergensradiusen for [tex]\sum_{n=0}^\infty \lim_{n \rightarrow \infty} \ \frac{1+5^n}{n!} \ x^n[/tex] er [symbol:uendelig]?

[Solar Plexsus]

Her har du at a[sub]n[/sub] = (5[sup]n[/sup] + 1)/n!, så

a[sub]n+1[/sub]/a[sub]n[/sub] = (5[sup]n+1[/sup] + 1)n! / [(5[sup]n[/sup] + 1)(n + 1)!] = (5 + 5[sup]-n[/sup]) / [(1 + 5[sup]-n[/sup])(n + 1)] -> 0 når n->[symbol:uendelig].

Følgelig vil rekken konvergere overalt.