Power series
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
La f(x) = 1/(2 - x)[sup]2[/sup]. Ifølge Taylors formel er potensrekken til f(x) omkring x = 0 gitt ved formelen
[tex](1) \;\; f(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \: \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, x^n \, .[/tex]
Nå er f'(x) = 2/(2 - x)[sup]3[/sup], f''(x) = 6/(2 - x)[sup]4[/sup], f'''(x) = 24/(2 - x)[sup]5[/sup], og mer generelt,
f[sup](n)[/sup](x) = (n + 1)! / (2 - x)[sup]n+2[/sup].
Ergo blir f[sup](n)[/sup](0)/n! = (n + 1)!/(2[sup]n+2[/sup]*n!) = (n + 1)/2[sup]n+2[/sup]. Innsatt i (1) gir dette
[tex]f(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \: \frac{n + 1}{2^{n+2}} \, x^n \, .[/tex]
[tex](1) \;\; f(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \: \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, x^n \, .[/tex]
Nå er f'(x) = 2/(2 - x)[sup]3[/sup], f''(x) = 6/(2 - x)[sup]4[/sup], f'''(x) = 24/(2 - x)[sup]5[/sup], og mer generelt,
f[sup](n)[/sup](x) = (n + 1)! / (2 - x)[sup]n+2[/sup].
Ergo blir f[sup](n)[/sup](0)/n! = (n + 1)!/(2[sup]n+2[/sup]*n!) = (n + 1)/2[sup]n+2[/sup]. Innsatt i (1) gir dette
[tex]f(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \: \frac{n + 1}{2^{n+2}} \, x^n \, .[/tex]
-
Bärlin
Ok, det var en fin metode.
Ser i boka at det står starting with the powe series representation
1/(1-x) = 1 +x +x[sup]2[/sup] + x[sup]3[/sup] + .., -1 < x < 1, determine the given powerserie. Er det muligens enda en måte å gjøre det på?
Ser i boka at det står starting with the powe series representation
1/(1-x) = 1 +x +x[sup]2[/sup] + x[sup]3[/sup] + .., -1 < x < 1, determine the given powerserie. Er det muligens enda en måte å gjøre det på?
-
blurp
[tex] \frac{1}{1-x} \: = \: \sum_{n=0}^{\infty}x^n[/tex]
[tex] \frac{1}{2-x} = \:\:\: \frac{1}{2(1-x/2)} \:=\: \frac{1}{2} \: \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{x}{2})^n[/tex]
deriverer m.h.p. x på begge sider og får
[tex]\frac{1}{(2-x)^{2}} \:\: = \: \frac{1}{2} \: \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{2})(\frac{x}{2})^{(n-1)} = \: \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{4})(\frac{x}{2})^{(n-1)} [/tex]
som kan ordnes til
[tex]\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{n+1}{2^{n+2}})x^{n} [/tex]
er muligens noen feil der oppe men tror det er slik det skal gjøres
[tex] \frac{1}{2-x} = \:\:\: \frac{1}{2(1-x/2)} \:=\: \frac{1}{2} \: \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{x}{2})^n[/tex]
deriverer m.h.p. x på begge sider og får
[tex]\frac{1}{(2-x)^{2}} \:\: = \: \frac{1}{2} \: \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{2})(\frac{x}{2})^{(n-1)} = \: \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{4})(\frac{x}{2})^{(n-1)} [/tex]
som kan ordnes til
[tex]\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{n+1}{2^{n+2}})x^{n} [/tex]
er muligens noen feil der oppe men tror det er slik det skal gjøres
-
Bärlin
Det så bra ut!
Men jeg lurer på hvodan du går fra [tex] \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{4})(\frac{x}{2})^{(n-1)} [/tex] til [tex]\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{n+1}{2^{n+2}})x^{n} [/tex].
Har prøvd litt, men får det ikke helt til.
Men jeg lurer på hvodan du går fra [tex] \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n}{4})(\frac{x}{2})^{(n-1)} [/tex] til [tex]\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{n+1}{2^{n+2}})x^{n} [/tex].
Har prøvd litt, men får det ikke helt til.
-
blurp
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n}{4})(\frac{x}{2})^{n-1}[/tex] = [tex]\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n}{2^2})(\frac{x}{2})^{n-1}[/tex]
omordner summen fra å begynne fra n=1 til å begynne fra n=0
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n}{2^2})(\frac{x}{2})^{n-1}[/tex] =[tex]\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n+1}{2^2})(\frac{x}{2})^{n}[/tex]
dersom du skriver ut de første leddene i de to summene ser du at det er riktig eller du kan prøve med å bytte ut n med m der m = n -1 og finne summen med m som teller og ikke n.
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n+1}{2^2})(\frac{x}{2})^{n}[/tex] = [tex]\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n+1}{2^2})\frac{x^n}{2^n}[/tex]
og siden:
[tex] 2^2 * 2^n = 2^{n +2}[/tex]
er :
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n+1}{2^2})\frac{x^n}{2^n}[/tex] = [tex]\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n+1}{2^{n+2}}) \: x^n[/tex]
....tror det er riktig hvertfall
omordner summen fra å begynne fra n=1 til å begynne fra n=0
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{n}{2^2})(\frac{x}{2})^{n-1}[/tex] =[tex]\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n+1}{2^2})(\frac{x}{2})^{n}[/tex]
dersom du skriver ut de første leddene i de to summene ser du at det er riktig eller du kan prøve med å bytte ut n med m der m = n -1 og finne summen med m som teller og ikke n.
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n+1}{2^2})(\frac{x}{2})^{n}[/tex] = [tex]\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n+1}{2^2})\frac{x^n}{2^n}[/tex]
og siden:
[tex] 2^2 * 2^n = 2^{n +2}[/tex]
er :
[tex]\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n+1}{2^2})\frac{x^n}{2^n}[/tex] = [tex]\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{n+1}{2^{n+2}}) \: x^n[/tex]
....tror det er riktig hvertfall