Lineær transformasjon

[heidi.]

Lurer på denne jeg,
la T[sub]1[/sub]: P[sub]1[/sub] -> P[sub]2[/sub] være lineærtransformasjonen gitt ved: T[sub]1[/sub](c[sub]0[/sub] + c[sub]1[/sub]x) = 2c[sub]0[/sub] - 3c[sub]1[/sub]

og la T[sub]2[/sub]: P[sub]2[/sub] -> P[sub]3[/sub] være lineærtransformasjonen gitt ved: T[sub]2[/sub](c[sub]0[/sub] + c[sub]1[/sub]x + c[sub]2[/sub]x[sub]2[/sub]) = 3c[sub]0[/sub]x + 3c[sub]1[/sub]x[sup]2[/sup] + 3c[sub]2[/sub]x[sup]3[/sup]

La B = {1,x}, B' = {1,x,x[sup]2[/sup]} og B'' {1,x,x[sup]2[/sup],x[sup]3[/sup]}.

Finn [T[sub]2[/sub] [sub]o[/sub] T[sub]1[/sub]][sub]B', B[/sub] and [T[sub]2[/sub]][sub]B',B''[/sub] og [T[sub]1[/sub]][sub]B'',B[/sub]

[Andrina]

Mangler det kanskje noen x'er på høyre siden i beskrivelsen av T1?

Jeg skal ta [T2]_B',B'' (har fremdeles problemer med å få inn tex-koden her...)

Vi finner matrisen [T2]_B',B'' på følgende måte:

Den første basisvektoren i B' er 1. Så vi ser på

T2(1)=3x=0*1+3*x+0*x^2+0*x^3 (utrykker T2(1) i basisvektorene i B'')
Koeffisientene foran basisvektorene i B'' danner nå den første kolonnen i [T2]B',B'':

0
3
0
0

er den første kolonnen i denne matrisen.

Så tar vi T2(x)=3x^2=0*1+0*x+3x^2+0x^3

Koeffisientene her danner andre kolonnen i matrisen.

Til slutt ser vi på

T2(x^2)=3x^3=0*1+0x+0x^2+3x^3

Koeffisientene her danner den tredje kolonnen i matrisen.

Så [T2]B',B'' er

0 0 0
3 0 0
0 3 0
0 0 3

Det samme gjør du for å finne de to andre matrisene. Bare spør, hvis det er noe uklart.

[heidi.]

Stemmer det med x-ene ja.
Kjempefint forklart, takker.

Lurer på [T[sub]1[/sub]][sub]B'', B[/sub], der får jeg matrisen

Kode: Velg alt

2  0
0 -3

Er det rett?

[Andrina]

hmm... det er noe som ikke stemmer her...

Mener du [T1]B,B' ? Det gir ingen mening å ta T1(x^2) for eksempel og x^2 er med i B''.
Og så tror jeg det mangler fremdeles noen x'er på høyresiden i beskrivelsen av T1. Skal det være T1(c0+c1x)=2c0x-3c1x^2 ??

Husk også at dersom en basis C har n elementer og en basis D har m elementer, så er [T]C,D en mxn matrise (T lineær transformasjon).

Så her er [T1]B,B' en 3x2 matrise og du får den slik:

T1(1)=2x=0*1+2x+0x^2

T1(x)=-3x^2=0*1+0x-3x^2

Så [T1]B,B' ser sånn ut:

0 0
2 0
0 -3

Så du hadde nesten rett :)

[Andrina]

Til [T2 o T1]B',B:

Dette skal vel være [T2 o T1]B,B''. Husk at T2 o T1 går fra P1 til P3, og B er en basis av P1, B'' er en basis av P3.

Det er kjent at

[T2 o T1]B,B''= [T2]B',B'' * [T1]B,B' (*er matrisemultiplikasjon)

Så [T2 o T1]B,B''=

0 0 0
3 0 0
0 3 0
0 0 3

*

0 0
2 0
0 -3
=

0 0
0 0
6 0
0 -9

Du kan sjekke dette ved å se på

(T2 o T1)(c0+c1x)=T2(T1(c0+c1x))=T2(2c0x-3c1x^2)=6c0x^2-9c1x^3

og så regne ut matrisen som før.

[heidi.]

T[sub]1[/sub](c[sub]0[/sub] + c[sub]1[/sub]x) = 2c[sub]0[/sub] - 3c[sub]1[/sub]x
T[sub]2[/sub](c[sub]0[/sub] + c[sub]1[/sub]x + c[sub]2[/sub]x[sup]2[/sup]) = 3c[sub]0[/sub]x + 3c[sub]1[/sub]x[sup]2[/sup] + 3c[sub]2[/sub]x[sup]3[/sup]

Sånn skal de være.
Det som er litt rart, er at boka sier at (i denne rekkefølgen) B = {1,x}, B'' = {1,x,x[sup]2[/sup]} og B' ={1,x,x[sup]2[/sup],x[sup]3[/sup]}.
Dette virket rart, så jeg byttet på B' og B'', slik at det ble B = {1,x}, B' = {1,x,x[sup]2[/sup]} og B'' ={1,x,x[sup]2[/sup],x[sup]3[/sup]}.

Videre mener boka (med sin notasjon) at man skal finne [T[sub]2[/sub] o T[sub]1[/sub]][sub]B',B[/sub], [T[sub]2[/sub]][sub]B',B''[/sub] og [T[sub]1[/sub]][sub]B'',B[/sub]

[Andrina]

Sikker på at det ikke skal være noen x^2-ledd på høyre siden av T1?

OK, er ikke helt vant med den notasjonen, altså at man skriver [T1]B'',B

med B'' og B i den rekkefølgen, men da må du bare bytte rekkefølgen på de B-ene i hva jeg har skrevet, så blir det riktig (med din bruk av B' og B'').

[heidi.]

Inget x^2-ledd nei.
Men når det da står [T]B,B', skal man da sende B eller B' inn i transformasjonen for så uttrykke svaret på henholdsvis B eller B'?

[heidi.]

Jeg har funnet det ut nå, er skrivefeiler i boka som forvirrer. Takk for hjelpen!