Absolutt/betinget konvergens

[Eva]

[tex]\spadesuit[/tex] Hei! [tex]\spadesuit[/tex]

Denne oppgaven får jeg ikke til:

Determine the values of x for which the serie converge absolutely, converge conditionally, or diverge.

[tex]\sum_{n=o}^{\infty}\frac{x^{n}}{\sqrt{n+1}}[/tex]

Eksemplene i boka omfatter ikke akkurat denne situasjonen og læreren er vel egentlig ikke så flink til å forklare på en forståelig måte...

Men jeg har gjort litt da! Bruker forholdskriteriet:

[tex]\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}|\frac{x^{n}}{x^{n-1}}|[/tex]

Og så vet jeg ikke hva jeg skal gjøre...

Noen som er snill?

[tex]\triangleright[/tex] Mvh [tex]\varepsilon[/tex]va [tex]\clubsuit[/tex]

[blurp]

[tex]p = \lim_{n \to \infty}|\frac{ a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n \to \infty}|(\frac{ x^n}{x^{n-1}}) \: (\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})| [/tex]

og

[tex]\frac{1}{x^{n-1}} \:= \:\frac{1}{x^{n} \: x^{-1} } \: = \: \frac{x}{x^n}[/tex]

dermed er

[tex] \lim_{n \to \infty}|(\frac{ x^n}{x^{n-1}}) \: (\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})| = \lim_{n \to \infty}|(\frac{ x \: x^n}{x^n}) \: (\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})| = \lim_{n \to \infty}| x \: (\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})| = |x| \: \lim_{n \to \infty}|(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})|[/tex]

og

[tex] \lim_{n \to \infty}|(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})| = 1 [/tex]

dermed

p = [tex] \lim_{n \to \infty}| x \: (\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})| = |x| [/tex]

for at det skal være absolutt konvergens skal hvertfall : 0 =< p < 1
altså :
0=<|x|<1 eller at -1 < x < 1 fører til absolutt konvergens

denne testen sier ingenting dersom |x| = 1

- ser at for x = 1

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \: \frac{1}{\sqrt{n+1}} < \sum_{n=0}^{\infty} \: \frac{1}{\sqrt{n} [/tex] den divergerer dermed må også

[tex]\sum_{n=0}{\infty} \: \frac{1}{\sqrt{n+1}[/tex] divergerer dermed for x = 1

- for x = -1

kan du teste om rekken [tex]\sum_{n=0}^{\infty} \: \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}} [/tex] konvergerer (noe den gjør slik at du får betinget konvergens for x = -1)

- for å vise at den divergerer for alle x < -1 og x > 1 kan du vise at

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{x^n}{\sqrt{n+1}} = \infty [/tex] for x > 1

den divergerer da for 1= < x < -1

hmm ... er sikkert noe gale her oppe, så om det er noe fryktelig feil si ifra slik at eg får rettet på det