Tre rekker som skal vurderes

[Sveinung.]

1) Konvergerer den?

[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac {(2n)!}{(n!)^3}[/tex]

2) Konvergerer den?

[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac {n!}{(-100)^n}[/tex]

3 Konvergerer den absolutt, betinget eller diveregerer den?

[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^n (n^2 -1)}{n^2 +1}[/tex]

[Gjest]

1) Konvergerer.

2) Divergerer.

3) Divergerer.

[Sveinung.]

Takk, men holder ikke, jeg må vise det.

[Solar Plexsus]

Vi har gitt rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub]a[sub]n[/sub] der

1) a[sub]n[/sub] = (2n)!/(n!)[sup]3[/sup]. Dermed blir

lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub]|a[sub]n+1[/sub]/a[sub]n[/sub]|
= lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub] [(2n+2)!/((n+1)!)[sup]3[/sup]] / [(2n)!/(n!)[sup]3[/sup]]
= lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub] (2n + 2)(2n + 1) / (n + 1)[sup]3[/sup]
= lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub] 2(2n + 1) / (n + 1)[sup]2[/sup]
= 0.

Ifølge forholdstesten er denne rekken (absolutt) konvergent.


2) a[sub]n[/sub] = n!/(-100)[sup]n[/sup]. I dette tilfellet gir forholdstesten at

lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub]|a[sub]n+1[/sub]/a[sub]n[/sub]| = lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub] [(n+1)!/100[sup]n+1[/sup]] / [n!/100[sup]n[/sup]] = lim[sub]n->[symbol:uendelig] [/sub] (n+1)/100 = [symbol:uendelig].

Denne rekken er altså divergent.


3) a[sub]n[/sub] = (-1)[sup]n[/sup](n[sup]2[/sup] - 1)/(n[sup]2[/sup] + 1). Her finner vi at

lim[sub]n->[symbol:uendelig] [/sub] a[sub]n[/sub] = lim[sub]n->[symbol:uendelig][/sub] (-1)[sup]n[/sup](1 - n[sup]-2[/sup])/(1 + n[sup]-2[/sup]) [symbol:ikke_lik] 0.

M.a.o. er denne rekken også divergent.

[Gjest]

Det ble værre. Jeg skal gjøre et forsøk

1)
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^3}=0[/tex]

rekken konvergerte veldig fort. Etter 30 summeringer fikk jeg summen 15.8439836813.

2)
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac {n!}{(-100)^n}=\infty[/tex]

når n øker så øker summen radikalt.

3)
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac {n^2-1}{n^2+1}=1[/tex]

men

[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty} (-1)^n = udefinert[/tex]

[Sveinung.]

Flott Solar Plexsus, jeg lurer bare på en ting, hvordan er forkortingen av fakultet her:

lim [sub]n->[symbol:uendelig][/sub] [(n+1)!/100n+1] / [n!/100n] = lim [sub]n->[symbol:uendelig][/sub] (n+1)/100 = [symbol:uendelig].

[Solar Plexsus]

[(n+1)!/100[sup]n+1[/sup]] / [n!/100[sup]n[/sup]]
= [(n+1)! / n!] * [100[sup]n[/sup]/100[sup]n+1[/sup]]
= [(n + 1)*n! / n!] * [100[sup]n[/sup]/(100*100[sup]n[/sup])]
= (n + 1)/100.