Jeg skal finne maks- og minverdien til f(x,y) = x[sup]2[/sup] + 4y[sup]2[/sup] - 2x + 6, på området (x/2)[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] _< 1.
Jeg fikk her at lambda bare kunne være 0 for at likningene jeg satt opp kunne stemmer, og da fulgte det at jeg bare fikk ett punkt, nemlig (1,0), kan det stemme, hvordan klassifiserer jeg dette?
Lagrange-oppgave
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Her trenger du ikke bruke Lagrange. Her har du at
(1) f(x,y) = x[sup]2[/sup] + 4y[sup]2[/sup] - 2x + 6
der
(2) (x/2)[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] ≤ 1.
Legg merke til at (2) er ekvivalent med
x[sup]2[/sup] + 4y[sup]2[/sup] ≤ 4,
som i kombinasjon med (1) gir
f(x,y) ≤ 4 - 2x + 6 = 10 - 2x.
Av ulikheten (2) ser vi at |x| ≤ 2, så
f(x,y) ≤ 10 - 2x ≤ 10 - 2*(-2) = 10 + 4 = 14.
M.a.o. er f(x,y)[sub]max[/sub] = 14 når (x,y) = (-2,0).
Videre har vi at
f(x,y) = (x - 1)[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + 5.
Altså er f(x,y) ≥ 5 med likhet kun når (x,y) = (1,0). Vi observerer at dette tallparet tilfredsstiller ulikheten (2). Dermed kan vi konkludere med at f(x,y)[sub]min[/sub] = 5 når (x,y) = (1,0).
(1) f(x,y) = x[sup]2[/sup] + 4y[sup]2[/sup] - 2x + 6
der
(2) (x/2)[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] ≤ 1.
Legg merke til at (2) er ekvivalent med
x[sup]2[/sup] + 4y[sup]2[/sup] ≤ 4,
som i kombinasjon med (1) gir
f(x,y) ≤ 4 - 2x + 6 = 10 - 2x.
Av ulikheten (2) ser vi at |x| ≤ 2, så
f(x,y) ≤ 10 - 2x ≤ 10 - 2*(-2) = 10 + 4 = 14.
M.a.o. er f(x,y)[sub]max[/sub] = 14 når (x,y) = (-2,0).
Videre har vi at
f(x,y) = (x - 1)[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] + 5.
Altså er f(x,y) ≥ 5 med likhet kun når (x,y) = (1,0). Vi observerer at dette tallparet tilfredsstiller ulikheten (2). Dermed kan vi konkludere med at f(x,y)[sub]min[/sub] = 5 når (x,y) = (1,0).