Hvordan finne sum

[Gjest]

Jeg har rekken:
[tex]1 - 4x + 16x^2 - 64c^3 + ... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (4x)^n[/tex],
hvor jeg har funnet ut at konvergensintervallet er ]-1/4, 1/4[, men hvordan skal jeg klare å finne summen?

[Solar Plexsus]

Legg merke til at rekken kan skrives på formen

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} (-4x)^n[/tex]

som jo er en geometrisk rekke med kvotient k = -4x. Denne rekken konvergerer mot

[tex]\frac{1}{1 \:-\:k} \;=\; \frac{1}{1 \:+\: 4x}[/tex]

når |x| < 1/4.

[Gjest]

Ah, genialt!

[Gjest]

Nå har jeg en ny en da, [tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)^2}{\pi^n}[/tex], hadde klart det lett ved å se på f.eks. 1/(1-x) ganget med x og derivert og slik, dersom det hadde vært bare n i parentesen, men når det blir n+1, vet jeg ikke helt.

[Solar Plexsus]

La T = [symbol:sum][sub]n ≥ 0[/sub](n + 1)[sup]2[/sup]/[symbol:pi][sup]n[/sup]. Vi ser at denne summen kan skrives som

[tex](1)\;\; \pi \: \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \cdot (1/\pi)^n[/tex].

Denne summen skal vi beregne ved å bestemme funksjonen

[tex](2) \;\; S(x) \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \cdot x^n[/tex]

for |x| < 1 (som er konvergensradiusen til rekken i (2)). Ved å dele (2) med x og deretter integrere, får vi at

[tex]\int_0^x \frac{S(t)}{t} \, dt \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x n^2 \cdot t^{n - 1} \, dt \;\;[/tex] (NB! S(t)/t er et polynom iht. (2))

[tex]\int_0^x \frac{S(t)}{t} \, dt \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot x^n[/tex]

[tex]\frac{1}{x} \, \int_0^x \frac{S(t)}{t} \, dt \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot x^{n - 1}[/tex]

[tex]\int \Big( \frac{1}{x} \, \int_0^x \frac{S(t)}{t} \, dt \Big) \, dx \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \int n \cdot x^{n - 1} \, dx [/tex]

[tex]\int \Big( \frac{1}{x} \, \int_0^x \frac{S(t)}{t} \, dt \Big) \, dx \;=\; c \:+\: \sum_{n=1}^{\infty} x^n \;[/tex] (c vilkårlig konstant)

[tex]\int \Big( \frac{1}{x} \, \int_0^x \frac{S(t)}{t} \, dt \Big) \, dx \;=\; c \:\:+\:\: \frac{x}{1 \:-\: x} \;\;[/tex] (deriverer begge sider mhp. x)

[tex]\frac{1}{x} \, \int_0^x \frac{S(t)}{t} \, dt \;=\; \frac{1}{(1 \:-\: x)^2}[/tex]

[tex]\int_0^x \frac{S(t)}{t} \, dt \;=\; \frac{x}{(1 \:-\: x)^2}\;\;[/tex] (deriverer igjen begge sider mhp. x)

[tex]\frac{S(x)}{x} \;=\; \frac{1 \:+\: x}{(1 \:-\: x)^3}[/tex]

[tex]S(x) \;=\; \frac{x(1 \:+\: x)}{(1 \:-\: x)^3} \, .[/tex]

Dette i kombinasjon med (1) og (2) gir

[tex]T \; = \; \pi \, S(1/\pi) \;=\; \frac{(\pi/\pi)(1 \:+\: 1/\pi)}{(1 \:-\: 1/\pi)^3} \; = \; \frac{(\pi \:+\: 1)\pi^2}{(\pi \:-\: 1)^3} \, .[/tex]

[Gjest]

Hm, det var jo bare utrolig vanskelig, skjønner ikke (1) hvor du trekker ut [symbol:pi].

Hva med
[tex]\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n*2^n}[/tex],
er den like vanskelig?

[Solar Plexsus]

Summen T av denne uendelige rekken er enklere å beregne. Her er

[tex]T \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \cdot 2^n} \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{-1} \cdot (-1)^n}{n \cdot 2^n} \;=\; - \: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1/2)^n}{n^}\: . [/tex]

Denne rekken kan uttrykkes på formen

[tex](1) \; S(x) \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} x^n/n[/tex]

med |x| < 1 (som er konvergensradiusen til rekken). Vi ser at T = -S(-1/2). Ved å derivere (1) får vi at

[tex]S^,(x) \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} x^n \;=\; \frac{1}{1 \:-\: x} \, .[/tex]

Integrasjon gir

[tex]\int S^,(x) \, dx \;=\; \int \frac{dx}{1 \:-\: x}[/tex]

[tex](2) \; S(x) \;=\; - \, ln(1 \:-\: x) \:+\: c \;\; \mbox{(NB: 1 - x > 0 fordi |x| < 1)},[/tex]

der c er en vilkårlig konstant. Settes x = 0 i (1) og (2), blir resultatet hhv. S(0) = 0 og S(0) = - ln1 + c, dvs. at c = 0. Altså er

T = -S(-1/2) = ln(1 - (-1/2)) = ln(1 + 1/2) = ln(3/2).

[Gjest]

Kjempegreier! Takk.

Skal nå finne summen av 1 + x[sup]2[/sup] + x[sup]4[/sup]/2! + x[sup]6[/sup]/3! + x[sup]8[/sup]/4! + ..,
det ser jo ut som [tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{n!}[/tex], men mer klarer jeg ikke.

[Solar Plexsus]

Du har rett i at dette er rekken

[tex](1) \;\: S(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} \, .[/tex]

som konvergerer overalt. Vi ser at denne rekken minner om Maclaurinrekken til e[sup]t[/sup] som er

[tex](2) \;\: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \, .[/tex]

Ved å sette t = x[sup]2[/sup] i (2), blir resultatet potensrekken i (1). M.a.o. er

[tex]S(x) \;=\; e^{x^2} \, .[/tex]

[Gjest]

Takker!
Da kommer den siste fra meg i denne omgang, det gjelder nå summen:

[tex]1 + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} + \frac{x^6}{7!}[/tex], den kan vel skrives som

[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n+1)!},[/tex] som likner på

[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = sinh x[/tex], og der ble det tverrstopp.

[Solar Plexsus]

Du har tenkt helt riktig! For x [symbol:ikke_lik] 0 er denne rekken er identisk med summen

[tex](1) \;\; S(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n + 1)!}\, . [/tex]

Ved å multiplisere (1) med x [symbol:ikke_lik] 0, blir resultatet

[tex]xS(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n + 1)!} [/tex]

[tex]xS(x) \;=\; sinhx [/tex]

[tex]S(x) \;=\; \frac{sinhx}{x} \, .[/tex]

Her er S(0) = 1.