Kontinuitet og eksistens av partiellderiverte

[Gjest]

Det gjelder funksjonen med delt forskrift,
f(x,y) = [tex]\frac{x^2 y}{x^2 + y^2} + \sqrt{|x|} [/tex] for (x,y) [symbol:ikke_lik] (0,0) og 0 når (x,y) = 0.

a) Kontinuerlig i (0,0)? Sjekket lim [sub](x,y)->(0,0)[/sub] = lim [sub]r->0[/sub], og det ble ikke 0. Så jeg fant ut at den ikke var kontinuerlig i (0,0).

b) Avgjør om de partiellderiverte eksisterer i (0,0).
Må da sjekke (for F[sub]1[/sub]) [symbol:diff]f/[symbol:diff]x = [tex]\lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h,y) -f(x,y)}{h}[/tex], men det blir jo utrolig stygt, jeg ga helt opp.

[Solar Plexsus]

Her har vi gitt funksjonen

[tex](1) \; f(x,y) \;=\; \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2y}{x^2 \:+\: y^2} \:+\: \sqrt{|x|} & \; for \; (x,y) \, \neq \, (0,0), \\0 & \; for \; (x,y) \,=\, (0,0). \end{array} \right.[/tex]

a) Ved å innføre polarkoordinater, dvs. x = r*cost og y = r*sint, får vi at

[tex]\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \: f(x,y)[/tex]

[tex]=\; \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \: \frac{x^2y}{x^2 \:+\: y^2} \:+\: \sqrt{|x|}[/tex]

[tex]=\; \lim_{r \rightarrow 0} \: \frac{r^3 \cdot cos^2t \cdot sint}{r^2} \:-\: \sqrt{r|cost|}[/tex]

[tex]=\; \lim_{r \rightarrow 0} \: r \cdot cos^2t \cdot sint \:-\: \sqrt{r|cost|}[/tex]

[tex]=\; 0 \cdot cos^2t \cdot sint \:-\: \sqrt{0 \cdot |cost|} \;\;[/tex](NB: |cos[sup]2[/sup]t*sint| ≤ 1 og |cost| ≤ 1)

[tex]=\; 0.[/tex]

M.a.o. er lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] f(x,y) = 0 = f(0,0), så f er kontinuerlig i origo.


b) Den første del av funksjonsforskriften (1) gir f(h,0) = 0 og f(0,h) = [symbol:rot]|h| når h [symbol:ikke_lik] 0. Herav følger at

[tex]f_x(0,0) \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \: \frac{f(h,0) \:-\: f(0,0)}{h} \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \: \frac{0 \:-\: 0}{h} \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \: \frac{0}{h} \;=\; 0,[/tex]

[tex]f_y(0,0) \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \: \frac{f(0,h) \:-\: f(0,0)}{h} \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \: \frac{\sqrt{|h|} \:-\: 0}{h} \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \: \frac{\sqrt{|h|}}{h},[/tex]

som innebærer at |f[sub]y[/sub](0,0)| = lim[sub]h->0[/sub] 1/[symbol:rot]|h| = [symbol:uendelig]. Altså eksisterer ikke f[sub]y[/sub](0,0).