Grenseverdi

[Gjest]

Jeg sliter litt med å bestemme følgende grenseverdi:
[tex]\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \ \frac {4x^2 y}{x^4 + y^2}[/tex],

det er jo lik

[tex]\lim_{r \rightarrow 0} \ \frac {4r^3 cos^2 t sin t}{r^4 cos^4 t + r^2 sin^2 t}[/tex]

Forkortet litt og lot r gå mot null, stod da igjen med 0/sin[sup]2[/sup]t, vil det si at den ikke eksisterer?

[Gjest]

Jeg sliter litt med å bestemme følgende grenseverdi:
[tex]\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \ \frac {4x^2 y}{x^4 + y^2}[/tex],

det er jo lik

[tex]\lim_{r \rightarrow 0} \ \frac {4r^3 cos^2 t sin t}{r^4 cos^4 t + r^2 sin^2 t}[/tex]

Forkortet litt og lot r gå mot null, stod da igjen med 0/sin[sup]2[/sup]t, vil det si at den ikke eksisterer?

Nei, det vil si at den er 0

[Solar Plexsus]

Anta at (x,y) nærmer seg origo langs parabelen gitt ved likningen y = m*x[sup]2[/sup] der m [symbol:ikke_lik] 0 er en konstant. Så på denne parabelen er

[tex]f(x,y) \;=\; \frac{4x^2y}{x^4 \:+\: y^2} \;=\; \frac{4x^2 \cdot (mx^2)}{x^4 \:+\: (mx^2)^2} \;=\; \frac{4mx^4}{x^4(1 \:+\: m^2)} \;=\; \frac{4m}{1 \:+\: m^2}[/tex]

hvis x [symbol:ikke_lik] 0. Vi ser at m = [symbol:plussminus] 1 gir f(x,y) = [symbol:plussminus] 2 for hvert punkt (x,y) på parabelen y = [symbol:plussminus]x[sup]2[/sup] utenom (0,0). M.a.o. nærmer f(x,y) seg to ulike verdier når (x,y)->(0,0) langs disse to parablene. Dette faktum innebærer at lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] f(x,y) ikke eksisterer.

[Gjest]

Akkurat, men hva med måten jeg prøvde på, kan man se det samme der, at det ikke eksisterer?