Greens teorem

[Gjest]

Skal på ett eller annet vis bruke Greens teorem og rekne ut integralet

[tex]I = \int_C (-y^3 +1) dx + (2x^3 +e^{y^2}) dy[/tex],

hvor C er gitt ved x = (1/[symbol:rot]2)cost, y = sint, t gjennomløper intervallet 0 til [symbol:pi].

Hjelp!

[Solar Plexsus]

La R være området begrenset av C, dvs. punktene på kurven

([symbol:rot]2x)[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = cos[sup]2[/sup]t + sin[sup]2[/sup]t = 1.

M.a.o. er C ellipsen gitt ved likningen

(1) 2x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 1.

Lengden av lille- og storeaksen er hhv. [symbol:rot]2 og 2. Så R har areal a(R) = [symbol:pi]*[symbol:rot]2*2/4 = [symbol:pi]/[symbol:rot]2. Nå gir Greens teorem

[tex]I \;=\; \oint_C (y^3 \:+\: 1)\,dx \;+\; (2x^3 \:+\: e^{y^2})\,dy[/tex]

[tex]=\; \int \int_R\; \Big( \, \frac{\part(2x^3 + e^{y^2})}{\part x} \:-\; \frac{\part(-y^3 + 1)}{\part y} \; \Big) \, dA [/tex]

[tex]=\; \int \int_R\; 6x^2 \:+\: 3y^2 \: dA [/tex]

[tex]=\; \int \int_R\; 3(2x^2 \:+\: y^2) \: dA [/tex]

[tex]=\; \int \int_R\; 3 \, dA \;\; (\, iht. \; (1)\,)[/tex]

[tex]=\; 3 \cdot a(R)[/tex]

[tex]=\; \underline{\underline{\frac{3\pi}{\sqrt{2}}} \, .[/tex]