Matrise og lineær transformasjon

[ddgcd]

To oppgaver jeg trenger hjelp med.
Oppgave1:
Matrise A (3*5-matrise)=
1 2 3 4 5
2 4 7 9 3
3 6 10 13 8
Finn en basis for løsningsrommet til AX=0 når A er gitt ved matrise A. Angi også den generelle løsningen til AX=0.

Oppgave 2:
Matrise M (3*3-matrise)=
0 0 1
0 1 0
1 0 0

Egenverdi , multiplisitet 1:
Basis til blir da

Egenverdi , multiplisitet 2:
Basis til blir da


Den lineære transformasjonen T:R^3--->R^3 gitt ved T(x) = Mx representerer speiling om et plan R^3. Ut i fra det du vet om basis og egenverdien til M (ovenfor) verifiser dette, og bestem dette planet. Planet skal beskrives på forman ax+by+cz=d der x,y,z er koordinater og a,b,c,d er konstanter som skal bestemmes.

[ddgcdTmp]

Ingen som kan noe om dette? Jeg er helt blank på hvordan jeg skal gjøre dette...

[Andrina]

Oppgave 1:

Trappeformen til matrisen A er

1 2 0 1 26
0 0 1 1 -7
0 0 0 0 0

Dermed er x2, x4 og x5 frie variabler (dimensjonen til løsningsrommet er 3) og

x1=-2x2-x4-26x5

x3=-x4+7x5

Løsningsrommet til AX=0 er dermed gitt ved

{[-2x2-x4-26x5,x2,-x4+7x5,x4,x5]}

={[-2,1,0,0,0]*x2+[-1,0,-1,1,0]*x4+[-26,0,7,0,1]*x5}

(generell løsning, x2,x4,x5 er tall (er du over de reelle tallene?))

En basis er dermed gitt ved

{[-2,1,0,0,0], [-1,0,-1,1,0], [-26,0,7,0,1]}

(alle vektorer er transponerte)

skal tenke på oppgave 2

[Andrina]

Siden for alle vektorene v i E(1) gjelder T(v)=1*v=v, så speiler vi om planet E(1). Vi ser også at E(-1) og E(1) til sammen spenner hele rommet R^3 og at for alle vektorer w i E(-1) gjelder T(w)=-w, s.a. vektorene i E(-1), og dermed alle vektorer i R^3 som ikke ligger i E(1), blir virkelig speilet.

Håper dette var noenlunde bra forklart...