Sliter litt med en oppgave her...
(a)
La C være skjæringskurva imellom sylinderen x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 1, og planet x + z = 1. En antar at C gjennomløpes mot klokka, sett fra punktet (1,0,1).
Parametriser kurven (det har jeg gjort), og bruk denne parametriseringen til å beregne arbeidet som blir utført av vektorfeltet F(x,y,z) = (y-z, z-x, x-y), når en partikkel beveger seg langs kurva C
(b)
Kontroller svaret over ved å bruke Stokes sats for å beregne
[symbol:integral] (y-z)dx + (z-x)dy + (x-y) dz
Det beste svaret jeg kunne finne fram til her var 2 [symbol:pi] , men det skal jo da bli -4 [symbol:pi] .
Parametriseringa til kurven C blir forresten
r = [cos t, sin t, 1-cos t], 0<=t<=2 [symbol:pi]
Arbeid og stokes sats
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Her får du at
curl(F)*n = <-2, -2, -2>*<1/[symbol:rot]2, 0, 1/[symbol:rot]2> = -2[symbol:rot]2.
Dermed blir
[tex](1) I \;=\; \int_{\:S} \int curl(F) \cdot n \: dS \;=\; \int_{\:S} \int -2\sqrt{2} \: dS \;=\; -2\sqrt{2}\,A[/tex]
der A er arealet av området S som er en ellipse med storeakse av lengde 2[symbol:rot]2 og lilleakse av lengde 2. Følgelig blir A = [symbol:pi][symbol:rot]2, som innsatt i (1) gir
[tex]I \;=\; (-2\sqrt{2}) \, \cdot \, (\pi\sqrt{2}) \;=\; -4\pi.[/tex]
curl(F)*n = <-2, -2, -2>*<1/[symbol:rot]2, 0, 1/[symbol:rot]2> = -2[symbol:rot]2.
Dermed blir
[tex](1) I \;=\; \int_{\:S} \int curl(F) \cdot n \: dS \;=\; \int_{\:S} \int -2\sqrt{2} \: dS \;=\; -2\sqrt{2}\,A[/tex]
der A er arealet av området S som er en ellipse med storeakse av lengde 2[symbol:rot]2 og lilleakse av lengde 2. Følgelig blir A = [symbol:pi][symbol:rot]2, som innsatt i (1) gir
[tex]I \;=\; (-2\sqrt{2}) \, \cdot \, (\pi\sqrt{2}) \;=\; -4\pi.[/tex]