Sum av rekke

[Pyttpyttt]

Hva er summen av rekka:

1+4*1/3+6*1/9+8*1/27+...?

[Gjest]

Er du sikker på at det er [tex]1+\frac{4}{3}+\frac{6}{9}+\frac{8}{27}...[/tex] og ikke [tex]\frac{2}{1}+\frac{4}{3}+\frac{6}{9}+\frac{8}{27}...[/tex]?

For den siste så gjelder

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\ \frac{2n}{3^{n-1}} [/tex] og den konvergerer mot [tex]\frac{358}{81}[/tex]

[Gjest]

OPS! blingsa kraftig på kladdearket. Det riktige er

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\ \frac{2n}{3^{n-1}} = \frac{9}{2} [/tex]

[Solar Plexsus]

Her skal vi beregne

[tex]T \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \: \frac{2n}{3^{n-1}} \;=\; 2 \sum_{n=1}^{\infty} \: \frac{n}{3^{n-1}}.[/tex]

La

[tex](1) \; S(x) \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \: nx^{n-1}[/tex]

der |x| < 1. Integrasjon av (1) gir

[tex](2) \; \int \, S(x) \, dx \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \: \int \: nx^{n-1} \, dx \;=\; \sum_{n=1}^{\infty} \: x^n \;=\; \frac{x}{1 \:-\: x}.[/tex]

Ved å derivere første og siste ledd i (2) får vi at

[tex]S(x) \;=\; \frac{d}{dx}\big( \, \frac{x}{1 \:-\: x} \, \big) \;=\; \frac{1}{(1 \:-\: x)^2}.[/tex]

Herav følger at

[tex]T \;=\; 2\,S(\frac{1}{3}) \;=\; \frac{2}{(1 - 1/3)^2} \;=\; \frac{2}{(2/3)^2} \;=\; \frac{2}{4/9} \;=\; \frac{9}{2} \;=\; \underline{\underline{4,5}}.[/tex]