La indreproduktet være gitt ved:
<f(t), g(t)> = f(pi/6)*g(pi/6) + f(pi/3)*g(pi/3)
Skal finne indreproduktet <sint, cost> og <cost, cost> og bruke svaret til å finne en ortonormal basis.
Er litt usikker på fremgangsmåten her, noe som har peiling?
indreprodukt
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Vektorrommet V hvor elementene er de reelle funksjonene {asint + bsint, for reelle a,b} B={sint, cost} er en basis for V.
OK, vi kan bruke Gram-Schmidt for eksempel:
Vi vet altså at {sin t, cos t} er en basis for V.
La oss kalle v1=sin t, v2=cos t.
La u1=v1,
u2=v2-(<v2,u1>/<u1,u1>)*u1
Da gir Gram-Schmidt at B':={u1,u2} er en ortogonal basis for V.
Hvis ||u1||=kv.rot(<u1,u1>) er ulik 1 og/eller ||u2|| er ulik 1, så trenger du bare å dele med ||u1|| hhv. ||u2|| for å få en ortonormal basis for V.
u1=sin t
u2=cos t-(<cos t, sin t>/<sin t, sin t>)*sin t
=cos t-(kv.rot(3)/2*1)*sin t
(Får <sin t, sin t>=1)
=cos t - (kv.rot(3)/2)*sin t
Nå må vi regne ut
<u2,u2>=(cos(pi/6)-(kv.rot(3)/2)*sin(pi/6))^2+
(cos(pi/3)-(kv.rot(3)/2)*sin(pi/3))^2
=(kv.rot(3)/4)^2+(-1/4)^2
=3/16+1/16=1/4
For å få <u2,u2>=1, må vi altså dele med ||u2||=1/2, altså gange med 2.
La w1=u1=sin t , w2=2*u2=2*cos t-kv.rot(3)*sin t.
Dermed er {w1,w2} en ortonormal basis for V.
Vi vet altså at {sin t, cos t} er en basis for V.
La oss kalle v1=sin t, v2=cos t.
La u1=v1,
u2=v2-(<v2,u1>/<u1,u1>)*u1
Da gir Gram-Schmidt at B':={u1,u2} er en ortogonal basis for V.
Hvis ||u1||=kv.rot(<u1,u1>) er ulik 1 og/eller ||u2|| er ulik 1, så trenger du bare å dele med ||u1|| hhv. ||u2|| for å få en ortonormal basis for V.
u1=sin t
u2=cos t-(<cos t, sin t>/<sin t, sin t>)*sin t
=cos t-(kv.rot(3)/2*1)*sin t
(Får <sin t, sin t>=1)
=cos t - (kv.rot(3)/2)*sin t
Nå må vi regne ut
<u2,u2>=(cos(pi/6)-(kv.rot(3)/2)*sin(pi/6))^2+
(cos(pi/3)-(kv.rot(3)/2)*sin(pi/3))^2
=(kv.rot(3)/4)^2+(-1/4)^2
=3/16+1/16=1/4
For å få <u2,u2>=1, må vi altså dele med ||u2||=1/2, altså gange med 2.
La w1=u1=sin t , w2=2*u2=2*cos t-kv.rot(3)*sin t.
Dermed er {w1,w2} en ortonormal basis for V.
